Номер 4, страница 92 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

4. Чтобы физическое тело стало искусственным спутником Земли, необходимо выполнить два основных условия:

1. Поднять тело на достаточную высоту над поверхностью Земли, где сопротивление атмосферы пренебрежимо мало (обычно это высоты более 150–200 км). Если этого не сделать, то сила трения о воздух быстро замедлит тело, и оно упадет обратно на Землю.

2. Сообщить телу на этой высоте определенную скорость, направленную горизонтально (по касательной к орбите). Величина этой скорости имеет решающее значение:

• Если скорость будет недостаточной, тело полетит по эллиптической траектории, низшая точка которой будет находиться под поверхностью Земли, то есть тело упадет на Землю.

• Если скорость будет равна так называемой первой космической скорости для данной высоты, тело начнет двигаться по круговой орбите вокруг Земли. Оно будет как бы постоянно "падать" на Землю, но из-за ее кривизны никогда не достигнет поверхности.

• Если скорость будет больше первой космической, но меньше второй космической скорости, траекторией движения спутника будет эллипс.

• Если скорость будет равна или больше второй космической скорости (скорости убегания), тело преодолеет гравитационное притяжение Земли и уйдет в межпланетное пространство.

Таким образом, для вывода тела на круговую орбиту его необходимо поднять на нужную высоту и придать ему первую космическую скорость в горизонтальном направлении.

Ответ: Тело необходимо поднять на высоту, где практически отсутствует атмосфера, и сообщить ему скорость, равную первой космической скорости для этой высоты, в направлении, перпендикулярном радиусу, проведенному из центра Земли.

5. Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) – это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Рассмотрим спутник массой $m$, движущийся по круговой орбите радиусом $r$ вокруг Земли массой $M$. Для простоты вывода будем считать, что спутник движется на небольшой высоте над поверхностью, поэтому радиус орбиты можно считать равным радиусу Земли: $r \approx R_З$.

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием единственной силы – силы всемирного тяготения $F_т$, которая и сообщает спутнику необходимое центростремительное ускорение $a_ц$.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_т = m \cdot a_ц$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $r$ со скоростью $v_1$, равно:

$a_ц = \frac{v_1^2}{r}$

Приравниваем выражения для силы, так как сила тяготения и есть та сила, что создает центростремительное ускорение:

$G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v_1^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ (это показывает, что скорость не зависит от массы спутника) и радиус $r$ в знаменателе:

$G \frac{M}{r} = v_1^2$

Отсюда выражаем первую космическую скорость:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

Эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения $g$. Ускорение свободного падения $g$ на расстоянии $r$ от центра Земли равно $g = G \frac{M}{r^2}$. Если спутник находится у самой поверхности ($r \approx R_З$), то $g \approx g_0$, где $g_0$ - ускорение свободного падения на поверхности. Отсюда $G \cdot M = g_0 \cdot R_З^2$.

Подставим это выражение в нашу формулу для скорости, считая $r = R_З$:

$v_1 = \sqrt{\frac{g_0 \cdot R_З^2}{R_З}} = \sqrt{g_0 \cdot R_З}$

Таким образом, мы получили две эквивалентные формулы для расчета первой космической скорости для орбиты, близкой к поверхности планеты.

Ответ: Формула для расчета первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите радиусом $r$ вокруг планеты массой $M$: $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{r}}$. Для орбиты вблизи поверхности Земли ($r \approx R_З$): $v_1 = \sqrt{g_0 R_З}$.