Номер 4, страница 87 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Докажите, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения средней точки этой стрелки (т. е. точки, находящейся посередине между центром вращения стрелки и её концом).

Дано:

$R_1$ - расстояние от центра вращения до крайней точки стрелки.

$R_2$ - расстояние от центра вращения до средней точки стрелки.

Из условия задачи: $R_2 = \frac{1}{2} R_1$

Найти:

Доказать, что $a_1 = 2 a_2$, где $a_1$ — ускорение крайней точки, а $a_2$ — ускорение средней точки.

Решение:

Стрелка часов является твердым телом, совершающим вращательное движение. Все точки на твердом теле при вращении движутся с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Движение стрелки часов можно считать равномерным, поэтому ускорение любой ее точки является центростремительным (или нормальным) ускорением.

Величина центростремительного ускорения точки, движущейся по окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$, определяется формулой:

$a = \omega^2 R$

Запишем эту формулу для крайней точки стрелки, которая находится на расстоянии $R_1$ от центра вращения:

$a_1 = \omega^2 R_1$

Теперь запишем ту же формулу для средней точки стрелки, которая находится на расстоянии $R_2$ от центра вращения:

$a_2 = \omega^2 R_2$

Чтобы сравнить ускорения этих двух точек, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\omega^2 R_1}{\omega^2 R_2}$

Поскольку угловая скорость $\omega$ для обеих точек одинакова, ее можно сократить в числителе и знаменателе:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Из условия задачи известно, что средняя точка находится посередине между центром вращения и концом стрелки. Это означает, что $R_2 = \frac{1}{2} R_1$, или, что то же самое, $R_1 = 2 R_2$. Подставим это соотношение в полученное выражение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2 R_2}{R_2} = 2$

Из этого следует, что $a_1 = 2 a_2$. Таким образом, мы доказали, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения ее средней точки.

Ответ: Что и требовалось доказать. Отношение ускорений $\frac{a_1}{a_2} = 2$. Ускорение крайней точки в 2 раза больше ускорения средней точки, так как при вращении твердого тела центростремительное ускорение его точек прямо пропорционально расстоянию до оси вращения ($a=\omega^2 R$).