Номер 5, страница 88 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. Минутная и секундная стрелки часов вращаются вокруг общего центра. Расстояние от центра вращения до концов стрелок одинаковы. Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок? Какая стрелка движется с большим ускорением?

Дано:

Период вращения минутной стрелки: $T_м = 60 \text{ мин}$

Период вращения секундной стрелки: $T_с = 60 \text{ с}$

Расстояние от центра до конца минутной стрелки: $R_м$

Расстояние от центра до конца секундной стрелки: $R_с$

$R_м = R_с = R$

$T_м = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

$T_с = 60 \text{ с}$

Найти:

1. Отношение ускорений $\frac{a_с}{a_м}$

2. Какая стрелка движется с большим ускорением?

Решение:

Концы стрелок часов движутся по окружности с постоянной по модулю скоростью. Такое движение характеризуется наличием центростремительного ускорения, которое всегда направлено к центру окружности. Тангенциальное ускорение, отвечающее за изменение величины скорости, равно нулю, так как стрелки вращаются равномерно.

Центростремительное ускорение $a$ вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость, а $R$ — радиус окружности (в данном случае — длина стрелки).

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $T$ (временем одного полного оборота) следующим соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Найдем угловые скорости для минутной и секундной стрелок, используя их периоды, переведенные в систему СИ:

Угловая скорость минутной стрелки: $\omega_м = \frac{2\pi}{T_м} = \frac{2\pi}{3600} \text{ рад/с}$

Угловая скорость секундной стрелки: $\omega_с = \frac{2\pi}{T_с} = \frac{2\pi}{60} \text{ рад/с}$

Теперь можем записать выражения для ускорений концов каждой стрелки:

Ускорение конца минутной стрелки: $a_м = \omega_м^2 R = \left(\frac{2\pi}{3600}\right)^2 R$

Ускорение конца секундной стрелки: $a_с = \omega_с^2 R = \left(\frac{2\pi}{60}\right)^2 R$

Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок?

Чтобы найти отношение ускорений, разделим ускорение конца секундной стрелки на ускорение конца минутной стрелки. По условию задачи, их длины (радиусы вращения) одинаковы ($R_м = R_с = R$).

$\frac{a_с}{a_м} = \frac{\omega_с^2 R}{\omega_м^2 R} = \frac{\omega_с^2}{\omega_м^2} = \left(\frac{\omega_с}{\omega_м}\right)^2$

Подставим выражения для угловых скоростей через периоды:

$\frac{a_с}{a_м} = \left(\frac{2\pi/T_с}{2\pi/T_м}\right)^2 = \left(\frac{T_м}{T_с}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения периодов:

$\frac{a_с}{a_м} = \left(\frac{3600 \text{ с}}{60 \text{ с}}\right)^2 = 60^2 = 3600$

Ответ: Отношение ускорения конца секундной стрелки к ускорению конца минутной стрелки равно 3600.

Какая стрелка движется с большим ускорением?

Из полученного отношения $\frac{a_с}{a_м} = 3600$ видно, что оно больше единицы. Это означает, что числитель ($a_с$) больше знаменателя ($a_м$).

$a_с = 3600 \cdot a_м$

Следовательно, ускорение конца секундной стрелки в 3600 раз больше ускорения конца минутной стрелки.

Ответ: С большим ускорением движется секундная стрелка.