Номер 6, страница 88 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

6. Масса Земли равна $6 \cdot 10^{24}$ кг, а масса Луны — $7 \cdot 10^{22}$ кг. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом 384 000 км, определите:

а) силу притяжения между Землёй и Луной;

б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли;

в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Дано:

Масса Земли, $m_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Масса Луны, $m_Л = 7 \cdot 10^{22}$ кг

Радиус орбиты, $R = 384 000 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$R = 384 000 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

а) Силу притяжения, $F$

б) Центростремительное ускорение, $a_ц$

в) Модуль скорости движения Луны, $v$

Решение:

а) силу притяжения между Землёй и Луной

Силу гравитационного притяжения между двумя телами можно рассчитать с помощью закона всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_З m_Л}{R^2}$

Подставим в формулу известные значения масс и расстояния между центрами Земли и Луны:

$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (7 \cdot 10^{22} \text{ кг})}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2}$

Выполним вычисления:

$F = \frac{6.67 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 10^{-11+24+22}}{(3.84)^2 \cdot 10^{16}} \text{ Н} = \frac{280.14 \cdot 10^{35}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \text{ Н} \approx 18.998 \cdot 10^{19} \text{ Н}$

Округлив, получаем:

$F \approx 1.9 \cdot 10^{20} \text{ Н}$

Ответ: $1.9 \cdot 10^{20}$ Н.

б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли

Гравитационная сила, действующая на Луну со стороны Земли, является центростремительной силой, которая удерживает Луну на орбите. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает Луне центростремительное ускорение:

$F = m_Л a_ц$

Отсюда можем выразить ускорение $a_ц$. Для более точного расчета используем формулу силы F:

$a_ц = \frac{F}{m_Л} = \frac{G \frac{m_З m_Л}{R^2}}{m_Л} = G \frac{m_З}{R^2}$

Подставим числовые значения:

$a_ц = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2} = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округлив, получаем:

$a_ц \approx 0.0027 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: $0.0027$ м/с$^2$.

в) модуль скорости движения Луны относительно Земли

При движении по окружности центростремительное ускорение связано с линейной скоростью и радиусом окружности следующим соотношением:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Из этой формулы выразим модуль скорости $v$:

$v = \sqrt{a_ц R}$

Подставим значение центростремительного ускорения, вычисленное в пункте б), и радиус орбиты:

$v = \sqrt{2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}} = \sqrt{10.42176 \cdot 10^5} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1020.87 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат:

$v \approx 1021 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ или $1.02 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: $\approx 1021$ м/с.