Страница 87 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Что такое частота обращения; период обращения?

Частота обращения

Частота обращения — это физическая величина, которая показывает, сколько полных оборотов (циклов) совершает тело, равномерно движущееся по окружности, за единицу времени. Она характеризует быстроту вращения.

Обозначается частота греческой буквой $\nu$ (ню) или латинской буквой $f$.

Чтобы найти частоту обращения, нужно количество оборотов $N$ разделить на время $t$, за которое эти обороты были совершены:

$\nu = \frac{N}{t}$

В Международной системе единиц (СИ) частота измеряется в герцах (Гц). Один герц соответствует одному обороту в секунду: $1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$.

Частота и период обращения являются взаимно обратными величинами:

$\nu = \frac{1}{T}$

Ответ: Частота обращения – это физическая величина, равная числу полных оборотов за единицу времени.

Период обращения

Период обращения — это физическая величина, равная промежутку времени, в течение которого тело совершает один полный оборот при равномерном движении по окружности.

Обозначается период заглавной латинской буквой $T$.

Чтобы найти период обращения, нужно общее время движения $t$ разделить на количество совершенных за это время оборотов $N$:

$T = \frac{t}{N}$

В Международной системе единиц (СИ) период измеряется в секундах (с).

Период обращения связан с частотой $\nu$ обратной зависимостью:

$T = \frac{1}{\nu}$

Ответ: Период обращения – это время, за которое совершается один полный оборот.

2. Как связаны между собой период и частота обращения?

1.Период обращения и частота обращения – это физические величины, характеризующие равномерное движение тела по окружности.

Период обращения (обозначается буквой $T$) – это промежуток времени, за который тело совершает один полный оборот. Основной единицей измерения периода в системе СИ является секунда (с). Период можно рассчитать по формуле:

$T = \frac{t}{N}$

где $t$ – это общее время вращения, а $N$ – число полных оборотов, совершенных за это время.

Частота обращения (обозначается греческой буквой $\nu$ (ню) или латинской $f$) – это физическая величина, равная числу полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени. Единицей измерения частоты в СИ является Герц (Гц), равный одному обороту в секунду ($1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$). Частоту можно рассчитать по формуле:

$\nu = \frac{N}{t}$

где $N$ – число оборотов, а $t$ – время, за которое эти обороты были совершены.

Ответ:Период обращения – это время одного полного оборота, измеряется в секундах. Частота обращения – это число оборотов в единицу времени, измеряется в Герцах.

2.Период обращения ($T$) и частота обращения ($\nu$) являются взаимно обратными величинами. Эта связь означает, что чем больше времени требуется на один оборот (больше период), тем меньше оборотов тело совершает за единицу времени (меньше частота), и наоборот. Математически их связь выражается следующими формулами:

$T = \frac{1}{\nu}$

и

$\nu = \frac{1}{T}$

Произведение периода на частоту всегда равно единице: $T \cdot \nu = 1$.

Ответ:Период и частота обращения – взаимно обратные величины, связанные формулами $T = 1/\nu$ и $\nu = 1/T$.

3.Для определения периода и частоты вращения тела можно провести следующий простой опыт.

Оборудование: вращающееся тело (например, шарик, привязанный к нити, который раскручивают в горизонтальной плоскости, или диск на проигрывателе), секундомер, метка или ориентир для отсчета оборотов.

Ход опыта:

1. Приводим тело в равномерное вращательное движение.

2. Выбираем на вращающемся теле заметную точку (метку) и неподвижный ориентир, мимо которого эта точка проходит.

3. В момент, когда метка на теле проходит мимо неподвижного ориентира, включаем секундомер и начинаем считать полные обороты.

4. Отсчитываем достаточно большое число полных оборотов $N$ (например, 20, 30 или 50). Чем больше число подсчитанных оборотов, тем меньше будет погрешность измерений.

5. В момент завершения последнего, $N$-го, оборота (когда метка снова окажется у ориентира) останавливаем секундомер. Записываем полученное значение общего времени вращения $t$.

Обработка результатов:

1. Рассчитываем период обращения по формуле: $T = \frac{t}{N}$.

2. Рассчитываем частоту обращения по формуле: $\nu = \frac{N}{t}$ (или как величину, обратную периоду: $\nu = \frac{1}{T}$).

Ответ:Нужно с помощью секундомера измерить время $t$, за которое тело совершает $N$ полных оборотов, а затем рассчитать период по формуле $T = t/N$ и частоту по формуле $\nu = N/t$.

3. Опишите опыт, с помощью которого можно убедиться в том, что мгновенная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, в любой точке этой окружности направлена по касательной к ней.

4. Как направлено ускорение

3. Опишите опыт, с помощью которого можно убедиться в том, что мгновенная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, в любой точке этой окружности направлена по касательной к ней.

Чтобы экспериментально убедиться в том, что мгновенная скорость тела при равномерном движении по окружности направлена по касательной, можно провести следующий простой опыт.

Возьмем небольшой предмет, например, шарик или камень, и привяжем его к прочной нити. Начнем вращать этот предмет на нити в горизонтальной или вертикальной плоскости так, чтобы он двигался по траектории, близкой к окружности. Пока мы удерживаем нить, она действует на тело с силой натяжения, которая направлена к центру окружности (к руке) и заставляет тело двигаться по кругу. Эта сила создает центростремительное ускорение.

В определенный момент времени, когда тело находится в какой-либо точке своей круговой траектории, отпустим нить (или представим, что она обрывается). В этот самый момент сила натяжения, удерживающая тело на траектории, исчезает. Согласно первому закону Ньютона (закону инерции), если на тело не действуют силы (или их действие скомпенсировано), оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. В нашем случае тело продолжит движение с той скоростью, которую оно имело в момент прекращения действия силы.

Наблюдая за дальнейшим полетом тела, мы увидим, что оно движется по прямой линии. Эта прямая является касательной к окружности траектории в той точке, где находилось тело в момент обрыва нити. Это наглядно демонстрирует, что вектор мгновенной скорости тела, движущегося по окружности, в каждой точке направлен именно по касательной к этой окружности.

Аналогичное явление можно наблюдать в других ситуациях: искры, отлетающие от вращающегося точильного камня, или брызги воды и грязи, срывающиеся с колес быстро едущего автомобиля, также летят по касательной к окружности вращения.

Ответ: Можно провести опыт с вращением тела на нити и ее последующим обрывом. Тело полетит по прямой, которая является касательной к окружности в точке обрыва. Это доказывает, что его мгновенная скорость в этой точке была направлена по касательной.

4. Как направлено ускорение

При равномерном движении тела по окружности его скорость по модулю (т.е. путевая скорость) остается постоянной, однако вектор скорости непрерывно изменяется по направлению. В любой точке траектории вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности.

Ускорение по определению — это физическая величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости ($ \vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} $). Поскольку вектор скорости постоянно меняет свое направление, тело, движущееся по окружности (даже равномерно), всегда имеет ускорение.

Это ускорение называется центростремительным (или нормальным). Его вектор в любой точке траектории направлен перпендикулярно вектору мгновенной скорости, то есть по радиусу к центру окружности. Именно это ускорение отвечает за изменение направления вектора скорости, заставляя тело оставаться на круговой траектории, не изменяя при этом величину скорости.

Если бы это ускорение отсутствовало, тело, в соответствии с законом инерции, двигалось бы прямолинейно по касательной. Если бы ускорение было направлено как-то иначе (например, сонаправлено со скоростью), то изменялась бы и величина скорости, и движение уже не было бы равномерным.

Величина центростремительного ускорения вычисляется по формуле $ a_c = \frac{v^2}{R} $ или $ a_c = \omega^2 R $, где $ v $ — линейная скорость, $ R $ — радиус окружности, а $ \omega $ — угловая скорость.

Ответ: При равномерном движении тела по окружности его ускорение (называемое центростремительным) в любой точке траектории направлено по радиусу к центру этой окружности.

4. Как направлено ускорение тела при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью? Как называют это ускорение?

4. Как направлено ускорение тела при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью? Как называют это ускорение?

При равномерном движении тела по окружности его скорость постоянно изменяется по направлению, оставаясь в каждый момент времени касательной к траектории. Изменение вектора скорости со временем по определению является ускорением.

Поскольку модуль скорости постоянен, тангенциальная (касательная) составляющая ускорения, которая отвечает за изменение величины скорости, равна нулю. Таким образом, полное ускорение тела равно его нормальной составляющей.

Это ускорение всегда направлено перпендикулярно вектору мгновенной скорости, то есть по радиусу к центру окружности.

Данное ускорение называется центростремительным ускорением (или нормальным ускорением).

Ответ: Ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Это ускорение называют центростремительным.

5. По какой формуле можно ...

Центростремительное ускорение, которое возникает при движении тела по окружности, можно рассчитать по следующим формулам:

1. Если известны линейная скорость тела $v$ и радиус окружности $R$, то модуль центростремительного ускорения $a_ц$ находится как:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

2. Если известны угловая скорость тела $\omega$ и радиус окружности $R$, то формула имеет вид:

$a_ц = \omega^2 R$

Здесь $v$ — модуль линейной скорости, $\omega$ — угловая скорость, $R$ — радиус окружности. Формулы связаны соотношением $v = \omega R$.

Ответ: Центростремительное ускорение можно рассчитать по формуле $a_ц = \frac{v^2}{R}$ или $a_ц = \omega^2 R$.

5. По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения?

5. Как называют это ускорение?

При движении тела по криволинейной траектории, даже если модуль его скорости остается постоянным, вектор скорости непрерывно изменяется по направлению. Изменение вектора скорости вызывает ускорение. Ускорение, которое характеризует быстроту изменения направления вектора скорости и направлено к центру кривизны траектории, называется центростремительным ускорением. В частном случае движения по окружности оно всегда направлено к центру этой окружности.

Ответ: центростремительное ускорение.

6. По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения?

Модуль вектора центростремительного ускорения ($a_ц$) для тела, движущегося по окружности радиусом $R$ с постоянной по модулю линейной скоростью $v$, можно вычислить по следующей формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

где:

• $a_ц$ — модуль центростремительного ускорения (в м/с²),
• $v$ — модуль линейной (мгновенной) скорости тела (в м/с),
• $R$ — радиус окружности (в м).

Также модуль центростремительного ускорения можно выразить через угловую скорость $\omega$ (в рад/с):

$a_ц = \omega^2 R$

Эти две формулы связаны соотношением $v = \omega R$.

Ответ: $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

6. Как направлена сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью?

вычислить модуль вектора центростремительного ускорения?

Модуль вектора центростремительного ускорения ($a_ц$), который характеризует изменение направления скорости при равномерном движении по окружности, вычисляется по двум основным формулам. Первая формула связывает центростремительное ускорение с линейной скоростью $v$ и радиусом окружности $R$: $a_ц = \frac{v^2}{R}$. Вторая формула использует угловую скорость $\omega$ и радиус $R$: $a_ц = \omega^2 R$. Линейная и угловая скорости связаны между собой соотношением $v = \omega R$. Выбор формулы для расчета зависит от исходных данных задачи.

Ответ: Модуль вектора центростремительного ускорения можно вычислить по формуле $a_ц = \frac{v^2}{R}$ или $a_ц = \omega^2 R$.

Как направлена сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью?

Согласно второму закону Ньютона, вектор равнодействующей всех сил $\vec{F}$, приложенных к телу, всегда сонаправлен с вектором ускорения $\vec{a}$, которое он вызывает ($\vec{F} = m\vec{a}$). При равномерном движении тела по окружности (с постоянной по модулю скоростью) оно испытывает только центростремительное ускорение $\vec{a_ц}$. Этот вектор ускорения в любой точке траектории направлен строго к центру окружности, по которой движется тело. Следовательно, и сила, вызывающая это движение (называемая центростремительной силой), также в любой момент времени направлена по радиусу к центру окружности. Эта сила всегда перпендикулярна вектору мгновенной скорости тела.

Ответ: Сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, направлена к центру этой окружности.

1. Почему самолёт при повороте наклоняется в сторону поворота, а корабль — в противоположную сторону?

Различие в наклоне самолёта и корабля при повороте объясняется принципиально разным способом создания поворачивающей (центростремительной) силы и расположением центра масс относительно точки приложения этой силы.

Почему самолёт при повороте наклоняется в сторону поворота

Для выполнения поворота любому телу, движущемуся по дуге, необходима центростремительная сила, направленная к центру этой дуги. У самолёта эта сила создаётся за счёт подъёмной силы крыльев. В прямолинейном горизонтальном полёте подъёмная сила $F_{под}$ направлена вертикально вверх и уравновешивает силу тяжести $mg$. Чтобы повернуть, пилот наклоняет самолёт (создаёт крен) в сторону поворота. В результате этого наклона вектор подъёмной силы, который всегда перпендикулярен плоскости крыльев, также наклоняется.

Теперь подъёмную силу $F_{под}$ можно разложить на две составляющие:

- Вертикальную составляющую $F_y$, которая по-прежнему противодействует силе тяжести и удерживает самолёт на той же высоте.

- Горизонтальную составляющую $F_x$, которая направлена в сторону наклона, то есть к центру поворота.

Именно эта горизонтальная составляющая $F_x$ и является той самой центростремительной силой $F_ц$, которая заставляет самолёт изменять траекторию и двигаться по дуге: $F_ц = F_x = \frac{mv^2}{R}$, где $m$ — масса самолёта, $v$ — его скорость, а $R$ — радиус поворота.

Таким образом, самолёт специально наклоняется в сторону поворота, чтобы создать необходимую для манёвра центростремительную силу. Этот манёвр называется "правильный вираж" или "скоординированный поворот".

Почему корабль при повороте наклоняется в противоположную сторону

У корабля ситуация иная. Поворот осуществляется с помощью руля, который отклоняет поток воды и создаёт поперечную силу, действующую на корму. Однако основная центростремительная сила, которая заставляет весь корпус корабля двигаться по дуге, возникает из-за давления воды на борт, обращённый к центру поворота.

Ключевую роль здесь играет расположение двух точек:

- Центр тяжести (ЦТ) — точка, в которой условно сосредоточен вес всего корабля. Она обычно находится достаточно высоко, выше ватерлинии.

- Центр давления (ЦД) — точка приложения равнодействующей силы давления воды на подводную часть корпуса. Она всегда находится ниже ватерлинии.

Когда корабль входит в поворот, на его подводную часть действует центростремительная сила (со стороны воды), направленная к центру поворота. В то же время на корабль действует сила инерции, которая приложена к центру тяжести и направлена в противоположную сторону (от центра поворота).

Поскольку центр тяжести (ЦТ) расположен выше центра давления (ЦД), эта пара сил создаёт вращающий момент, который и наклоняет (кренит) корабль наружу, то есть в сторону, противоположную повороту. Верхняя часть корабля по инерции стремится "вылететь" из поворота, в то время как подводная часть удерживается водой.

Ответ: Самолёт наклоняется в сторону поворота, чтобы с помощью горизонтальной составляющей подъёмной силы крыла создать центростремительную силу, необходимую для изменения траектории. Корабль же наклоняется в противоположную сторону из-за того, что центростремительная сила со стороны воды приложена к подводной части корпуса (ниже центра тяжести), а сила инерции приложена к центру тяжести (расположенному выше). Эта пара сил создаёт вращающий момент, который кренит корабль наружу от центра поворота.

2. Почему на поворотах железной дороги машинист замедляет движение поезда?

Решение

Машинист замедляет движение поезда на поворотах железной дороги для обеспечения безопасности и предотвращения схода с рельсов. Это явление объясняется законами физики, в частности, механикой криволинейного движения.

1. Инерция и необходимость центростремительной силы. Любое массивное тело, в том числе и поезд, по инерции стремится двигаться прямолинейно и с постоянной скоростью. Чтобы заставить поезд изменить направление движения и поехать по дуге, необходимо приложить к нему силу, направленную к центру этой дуги (поворота). Эта сила называется центростремительной.

2. От чего зависит центростремительная сила. Величина необходимой центростремительной силы ($F_ц$) рассчитывается по формуле: $F_ц = \frac{m \cdot v^2}{R}$ где $m$ — это масса поезда, $v$ — его скорость, а $R$ — радиус поворота. В случае поезда эту силу создаёт боковое давление рельса на гребень колеса.

3. Квадратичная зависимость от скорости. Как видно из формулы, необходимая центростремительная сила пропорциональна квадрату скорости ($v^2$). Это ключевой момент. Если увеличить скорость в 2 раза, то сила, необходимая для удержания поезда на рельсах в повороте, возрастёт в 4 раза ($2^2 = 4$). Если увеличить скорость в 3 раза, сила возрастёт уже в 9 раз ($3^2 = 9$).

4. Риск схода с рельсов. Поезд обладает огромной массой ($m$), поэтому даже при небольшой скорости на повороте возникает значительная боковая сила, давящая на рельс. Если скорость поезда будет слишком высокой, то требуемая центростремительная сила может превысить предел прочности, который могут выдержать рельсы и колёсные пары. В этом случае гребень колеса может просто "залезть" на рельс и соскочить с него, что приведёт к сходу состава и катастрофе.

Именно поэтому для безопасного прохождения поворотов, особенно с малым радиусом ($R$), машинист обязан снизить скорость ($v$). Это позволяет уменьшить требуемую центростремительную силу до безопасного значения, которое гарантированно выдержат и рельсы, и колёса поезда.

Ответ: Машинист замедляет движение поезда на поворотах для того, чтобы уменьшить величину центростремительной силы, которая необходима для удержания поезда на криволинейной траектории. Эта сила пропорциональна квадрату скорости, и при её чрезмерном значении она может превысить силу, которую рельсы могут оказать на колёса, что приведет к сходу поезда с рельсов.

1. Точильный камень радиусом 10 см делает 300 оборотов в минуту. Найдите скорость точек на ободе точильного камня.

Дано:

Радиус точильного камня, $R = 10 \text{ см}$

Число оборотов, $N = 300$

Время, $t = 1 \text{ мин}$

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Скорость точек на ободе, $v - ?$

Решение:

Скорость точек, расположенных на ободе вращающегося тела, называется линейной скоростью. Она связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $R$.

Для начала определим частоту вращения $\nu$ — количество оборотов, совершаемых за одну секунду.

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим данные из условия, переведенные в систему СИ:

$\nu = \frac{300}{60 \text{ с}} = 5 \text{ об/с} = 5 \text{ Гц}$

Теперь найдем угловую скорость $\omega$. Угловая скорость связана с частотой вращения следующим соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

$\omega = 2\pi \cdot 5 \text{ Гц} = 10\pi \text{ рад/с}$

Линейная скорость $v$ точек на ободе камня находится по формуле:

$v = \omega R$

Подставим значения угловой скорости и радиуса:

$v = 10\pi \text{ рад/с} \cdot 0.1 \text{ м} = \pi \text{ м/с}$

Для получения численного значения, примем $\pi \approx 3.14$:

$v \approx 3.14 \text{ м/с}$

Ответ: скорость точек на ободе точильного камня составляет $\pi \text{ м/с}$, что приблизительно равно $3.14 \text{ м/с}$.

2. При работе стиральной машины в режиме отжима поверхность её барабана, находящаяся на расстоянии 21 см от оси вращения, движется вокруг этой оси со скоростью 20 м/с. Определите ускорение, с которым движутся точки поверхности барабана.

Дано:

Радиус вращения, $r = 21$ см

Линейная скорость, $v = 20$ м/с

Перевод в систему СИ:

$r = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

Найти:

Ускорение, $a$ - ?

Решение:

При работе стиральной машины в режиме отжима точки на поверхности её барабана совершают движение по окружности. Поскольку скорость движения, согласно условию, постоянна, данное движение является равномерным движением по окружности. При таком движении тело испытывает только центростремительное (нормальное) ускорение. Это ускорение отвечает за изменение направления вектора скорости и всегда направлено к центру окружности (в данном случае, к оси вращения барабана).

Величина центростремительного ускорения ($a$) вычисляется по следующей формуле:

$a = \frac{v^2}{r}$

где $v$ — это линейная скорость точки, а $r$ — радиус окружности, по которой она движется.

Подставим в формулу значения, приведённые в условии задачи, используя радиус, переведенный в систему СИ:

$a = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{0.21 \text{ м}}$

Теперь выполним математические вычисления:

$a = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.21 \text{ м}} \approx 1904.7619... \text{ м/с}^2$

Исходные данные в задаче ($21$ см и $20$ м/с) даны с точностью до двух значащих цифр. Следовательно, и ответ целесообразно округлить до двух значащих цифр.

$a \approx 1900 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение, с которым движутся точки поверхности барабана, составляет приблизительно $1900 \text{ м/с}^2$.

3. Определите ускорение конца секундной стрелки часов, если он находится на расстоянии $R = 2 \text{ см}$ от центра вращения.

Дано:

Расстояние от центра вращения (радиус), $R = 2$ см

Период вращения секундной стрелки, $T = 60$ с

Перевод в систему СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Ускорение конца стрелки, $a$ - ?

Решение:

Конец секундной стрелки движется по окружности. Так как скорость вращения стрелки постоянна, то её движение является равномерным движением по окружности. При таком движении ускорение тела является центростремительным (или нормальным), оно направлено к центру окружности и постоянно по величине. Тангенциальное ускорение, которое характеризует изменение модуля скорости, равно нулю.

Величина центростремительного ускорения $a$ вычисляется по формуле: $a = \omega^2 R$ где $\omega$ – угловая скорость, а $R$ – радиус окружности (расстояние от конца стрелки до центра вращения).

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом вращения $T$ (временем, за которое тело совершает один полный оборот) следующим соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T}$

Секундная стрелка часов совершает один полный оборот ровно за 60 секунд, поэтому её период вращения $T = 60$ с.

Сначала вычислим угловую скорость конца стрелки: $\omega = \frac{2\pi}{60 \text{ с}} = \frac{\pi}{30} \text{ рад/с}$

Теперь, зная угловую скорость и радиус, можем рассчитать величину ускорения: $a = \left(\frac{\pi}{30}\right)^2 \cdot R = \frac{\pi^2}{900} \cdot 0.02 \text{ м}$

Подставим числовые значения. Используем приближение $\pi \approx 3.14$, тогда $\pi^2 \approx 9.86$. $a \approx \frac{9.86}{900} \cdot 0.02 \text{ м/с}^2 \approx 0.01096 \cdot 0.02 \text{ м/с}^2 \approx 0.000219 \text{ м/с}^2$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем: $a \approx 2.2 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение конца секундной стрелки равно примерно $2.2 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}^2$.

4. Докажите, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения средней точки этой стрелки (т. е. точки, находящейся посередине между центром вращения стрелки и её концом).

Дано:

$R_1$ - расстояние от центра вращения до крайней точки стрелки.

$R_2$ - расстояние от центра вращения до средней точки стрелки.

Из условия задачи: $R_2 = \frac{1}{2} R_1$

Найти:

Доказать, что $a_1 = 2 a_2$, где $a_1$ — ускорение крайней точки, а $a_2$ — ускорение средней точки.

Решение:

Стрелка часов является твердым телом, совершающим вращательное движение. Все точки на твердом теле при вращении движутся с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Движение стрелки часов можно считать равномерным, поэтому ускорение любой ее точки является центростремительным (или нормальным) ускорением.

Величина центростремительного ускорения точки, движущейся по окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$, определяется формулой:

$a = \omega^2 R$

Запишем эту формулу для крайней точки стрелки, которая находится на расстоянии $R_1$ от центра вращения:

$a_1 = \omega^2 R_1$

Теперь запишем ту же формулу для средней точки стрелки, которая находится на расстоянии $R_2$ от центра вращения:

$a_2 = \omega^2 R_2$

Чтобы сравнить ускорения этих двух точек, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\omega^2 R_1}{\omega^2 R_2}$

Поскольку угловая скорость $\omega$ для обеих точек одинакова, ее можно сократить в числителе и знаменателе:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Из условия задачи известно, что средняя точка находится посередине между центром вращения и концом стрелки. Это означает, что $R_2 = \frac{1}{2} R_1$, или, что то же самое, $R_1 = 2 R_2$. Подставим это соотношение в полученное выражение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2 R_2}{R_2} = 2$

Из этого следует, что $a_1 = 2 a_2$. Таким образом, мы доказали, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения ее средней точки.

Ответ: Что и требовалось доказать. Отношение ускорений $\frac{a_1}{a_2} = 2$. Ускорение крайней точки в 2 раза больше ускорения средней точки, так как при вращении твердого тела центростремительное ускорение его точек прямо пропорционально расстоянию до оси вращения ($a=\omega^2 R$).