Номер 4, страница 93 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Дано:

Высота подъема ракеты $h = 3200$ км

Радиус Земли $R_З = 6400$ км

Время падения $t = 1$ с

$h = 3200 \text{ км} = 3.2 \times 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Путь $s$ - ?

Решение:

Ракета начинает падать с наивысшей точки своей траектории, где ее скорость на мгновение становится равной нулю. Следовательно, начальная скорость падения $v_0 = 0$. Падение происходит под действием силы гравитационного притяжения Земли, которая сообщает ракете ускорение свободного падения.

Величина ускорения свободного падения зависит от расстояния до центра Земли. Ускорение свободного падения на поверхности Земли (на расстоянии $R_З$ от центра) обозначается как $g_0$ и его значение принято считать $g_0 \approx 9.8$ м/с$^2$. Формула для него:$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, а $M_З$ — масса Земли.

На высоте $h$ над поверхностью ракета находится на расстоянии $r = R_З + h$ от центра Земли. Ускорение свободного падения на этой высоте, обозначим его $g_h$, будет:$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$.

Чтобы найти соотношение между $g_h$ и $g_0$, разделим второе выражение на первое:$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G M_З / (R_З + h)^2}{G M_З / R_З^2} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = \left( \frac{R_З}{R_З + h} \right)^2$.

Отсюда можем выразить $g_h$:$g_h = g_0 \left( \frac{R_З}{R_З + h} \right)^2$.

Подставим числовые значения:$g_h = g_0 \left( \frac{6400 \text{ км}}{6400 \text{ км} + 3200 \text{ км}} \right)^2 = g_0 \left( \frac{6400}{9600} \right)^2 = g_0 \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g_0$.

За короткий промежуток времени $t = 1$ с ракета пройдет небольшое расстояние по сравнению с высотой $h$, поэтому ее ускорение можно считать постоянным и равным $g_h$. Движение ракеты в первую секунду является равноускоренным с начальной скоростью $v_0 = 0$. Путь, пройденный телом при таком движении, рассчитывается по формуле:$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Подставив наши значения $v_0 = 0$, $a = g_h$ и $t = 1$ с, получаем:$s = \frac{g_h t^2}{2} = \frac{(\frac{4}{9}g_0) \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{2}{9}g_0$.

Теперь вычислим числовое значение пути, используя $g_0 \approx 9.8$ м/с$^2$:$s = \frac{2}{9} \times 9.8 \text{ м} \approx 2.177... \text{ м}$.

Данные в условии задачи ($3200$ км и $6400$ км) заданы с точностью до двух значащих цифр. Поэтому и результат целесообразно округлить до двух значащих цифр.

Ответ: $s \approx 2.2$ м.