Страница 99 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. На сколько изменится (по модулю) импульс автомобиля массой 1 т при изменении его скорости от 54 до 72 км/ч?

Дано:

масса автомобиля, $m = 1 \text{ т}$

начальная скорость автомобиля, $v_1 = 54 \text{ км/ч}$

конечная скорость автомобиля, $v_2 = 72 \text{ км/ч}$

Переведем данные в систему СИ:

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

$v_1 = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Изменение импульса автомобиля по модулю, $|\Delta p|$.

Решение:

Импульс тела ($p$) — это физическая величина, равная произведению массы тела ($m$) на его скорость ($v$).

$\vec{p} = m\vec{v}$

Изменение импульса ($\Delta p$) — это разность между конечным и начальным импульсом тела.

$\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$

Так как масса автомобиля не меняется, можно записать:

$\Delta \vec{p} = m\vec{v_2} - m\vec{v_1} = m(\vec{v_2} - \vec{v_1})$

В задаче требуется найти изменение импульса по модулю. Поскольку автомобиль увеличивает скорость, двигаясь в одном направлении, векторы скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ сонаправлены. В этом случае модуль изменения импульса равен разности модулей конечного и начального импульсов:

$|\Delta p| = |p_2 - p_1| = m(v_2 - v_1)$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$|\Delta p| = 1000 \text{ кг} \cdot (20 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 15 \frac{\text{м}}{\text{с}}) = 1000 \text{ кг} \cdot 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 5000 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: изменение импульса автомобиля по модулю составляет $5000 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

3. Человек сидит в лодке, покоящейся на поверхности озера. В какой-то момент он встаёт и идёт с кормы на нос. Что произойдёт при этом с лодкой? Объясните явление на основе закона сохранения импульса.

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из человека и лодки. Так как лодка покоится на поверхности озера, можно считать, что внешние силы, действующие на систему в горизонтальном направлении (сопротивление воды, ветер), пренебрежимо малы. Сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда действуют по вертикали и уравновешивают друг друга. Следовательно, систему «человек-лодка» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, и для нее будет выполняться закон сохранения импульса.

В начальный момент времени и человек, и лодка находятся в состоянии покоя, поэтому их суммарный импульс равен нулю:

$ \vec{p}_{начальный} = 0 $

Когда человек встает и начинает идти от кормы к носу, он приобретает скорость $\vec{v}_{ч}$ относительно воды и, соответственно, импульс $\vec{p}_{ч} = m_{ч}\vec{v}_{ч}$, направленный к носу лодки. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы должен оставаться равным нулю. Для этого лодка должна приобрести импульс $\vec{p}_{л} = m_{л}\vec{v}_{л}$, который компенсирует импульс человека. Это означает, что суммарный импульс после начала движения также должен быть равен нулю:

$ \vec{p}_{конечный} = \vec{p}_{ч} + \vec{p}_{л} = 0 $

Из этого уравнения следует:

$ m_{ч}\vec{v}_{ч} + m_{л}\vec{v}_{л} = 0 $

$ \vec{p}_{л} = - \vec{p}_{ч} $

Это равенство показывает, что импульс лодки равен по модулю и противоположен по направлению импульсу человека. Если человек движется вперед (к носу), то лодка будет двигаться назад (к корме). Скорость лодки будет тем больше, чем больше масса человека и чем меньше масса самой лодки. Когда человек остановится на носу, его скорость и импульс относительно воды снова станут равны нулю. Для сохранения общего нулевого импульса системы лодка также должна будет остановиться.

Ответ: Когда человек будет идти с кормы на нос, лодка будет двигаться в противоположном направлении — назад. Это объясняется законом сохранения импульса: в замкнутой системе «человек-лодка» изначально нулевой импульс должен сохраняться. Поэтому движение человека в одну сторону вызывает движение лодки в другую, чтобы их суммарный импульс оставался равным нулю. Когда человек остановится, лодка также прекратит свое движение.

4. Железнодорожный вагон массой 35 т подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой 28 т и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью 0,5 м/с. Какова была скорость вагона массой 35 т перед сцепкой?

Дано:

$m_1 = 35 \text{ т}$

$m_2 = 28 \text{ т}$

$u = 0,5 \text{ м/с}$

$v_2 = 0 \text{ м/с}$

$m_1 = 35 \cdot 1000 \text{ кг} = 35000 \text{ кг}$

$m_2 = 28 \cdot 1000 \text{ кг} = 28000 \text{ кг}$

Найти:

$v_1$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Так как взаимодействие вагонов (сцепка) происходит в замкнутой системе (внешними силами, такими как сила трения и сопротивление воздуха, можно пренебречь по сравнению с силами взаимодействия), суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия.

Импульс системы до сцепки равен сумме импульсов двух вагонов: $p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$

Поскольку второй вагон был неподвижен, его начальная скорость $v_2 = 0$. Тогда начальный импульс системы равен: $p_{до} = m_1 v_1$

После сцепки вагоны движутся вместе как единое целое с общей массой $(m_1 + m_2)$ и скоростью $u$. Импульс системы после сцепки: $p_{после} = (m_1 + m_2) u$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$: $m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Выразим из этого уравнения искомую начальную скорость первого вагона $v_1$: $v_1 = \frac{(m_1 + m_2) u}{m_1}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $v_1 = \frac{(35000 \text{ кг} + 28000 \text{ кг}) \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}} = \frac{63000 \text{ кг} \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}} = \frac{31500}{35000} \text{ м/с} = 0,9 \text{ м/с}$

Ответ: скорость вагона массой 35 т перед сцепкой была равна 0,9 м/с.