Номер 1, страница 334 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Для каждого из векторов, изображённых на рисунке 227, определите:

а) координаты начала и конца;

б) проекции на ось $y$;

в) модули проекций на ось $y$;

г) модули векторов.

Рис. 227

Дано:

Начальные данные взяты из рисунка 227. Координаты и длины на осях указаны в сантиметрах (см).

Для проведения вычислений в Международной системе единиц (СИ) переведем все величины в метры (м), используя соотношение $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Координаты начала и конца векторов в СИ:

• Вектор $\vec{a}$: начало $(x_{a1}, y_{a1}) = (0.01, 0.05)$ м, конец $(x_{a2}, y_{a2}) = (0.01, 0.02)$ м.
• Вектор $\vec{b}$: начало $(x_{b1}, y_{b1}) = (0.02, 0)$ м, конец $(x_{b2}, y_{b2}) = (0.05, 0.04)$ м.
• Вектор $\vec{c}$: начало $(x_{c1}, y_{c1}) = (0.05, 0.01)$ м, конец $(x_{c2}, y_{c2}) = (0.07, 0.01)$ м.
• Вектор $\vec{d}$: начало $(x_{d1}, y_{d1}) = (0.03, -0.04)$ м, конец $(x_{d2}, y_{d2}) = (0.06, 0)$ м.
• Вектор $\vec{e}$: начало $(x_{e1}, y_{e1}) = (0.01, -0.04)$ м, конец $(x_{e2}, y_{e2}) = (0.01, -0.01)$ м.

Найти:

Для каждого из векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$:

а) координаты начала и конца;

б) проекции на ось $y$;

в) модули проекций на ось $y$;

г) модули векторов.

Решение:

Для произвольного вектора $\vec{v}$ с началом в точке $(x_1, y_1)$ и концом в точке $(x_2, y_2)$ используются следующие формулы:

• Проекция на ось $x$: $v_x = x_2 - x_1$.
• Проекция на ось $y$: $v_y = y_2 - y_1$.
• Модуль вектора (длина): $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Вектор $\vec{a}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{a}$ находится в точке с координатами $(1; 5)$, а конец — в точке $(1; 2)$.

Ответ: начало (1; 5) см, конец (1; 2) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{a}$ на ось $y$ равна разности y-координат его конца и начала: $a_y = y_{a2} - y_{a1} = 0.02 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = -0.03 \text{ м}$.

Ответ: -0.03 м (или -3 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции — это абсолютное значение проекции: $|a_y| = |-0.03 \text{ м}| = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

г) модули векторов

Сначала найдем проекцию на ось $x$: $a_x = x_{a2} - x_{a1} = 0.01 \text{ м} - 0.01 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{a}$ найдем по теореме Пифагора: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(0 \text{ м})^2 + (-0.03 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2} = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

Вектор $\vec{b}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{b}$ находится в точке с координатами $(2; 0)$, а конец — в точке $(5; 4)$.

Ответ: начало (2; 0) см, конец (5; 4) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{b}$ на ось $y$ равна: $b_y = y_{b2} - y_{b1} = 0.04 \text{ м} - 0 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|b_y| = |0.04 \text{ м}| = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $b_x = x_{b2} - x_{b1} = 0.05 \text{ м} - 0.02 \text{ м} = 0.03 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{(0.03 \text{ м})^2 + (0.04 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2 + 0.0016 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0025 \text{ м}^2} = 0.05 \text{ м}$.

Ответ: 0.05 м (или 5 см).

Вектор $\vec{c}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{c}$ находится в точке с координатами $(5; 1)$, а конец — в точке $(7; 1)$.

Ответ: начало (5; 1) см, конец (7; 1) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{c}$ на ось $y$ равна: $c_y = y_{c2} - y_{c1} = 0.01 \text{ м} - 0.01 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Ответ: 0 м (или 0 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|c_y| = |0 \text{ м}| = 0 \text{ м}$.

Ответ: 0 м (или 0 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $c_x = x_{c2} - x_{c1} = 0.07 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = 0.02 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} = \sqrt{(0.02 \text{ м})^2 + (0 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0004 \text{ м}^2} = 0.02 \text{ м}$.

Ответ: 0.02 м (или 2 см).

Вектор $\vec{d}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{d}$ находится в точке с координатами $(3; -4)$, а конец — в точке $(6; 0)$.

Ответ: начало (3; -4) см, конец (6; 0) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{d}$ на ось $y$ равна: $d_y = y_{d2} - y_{d1} = 0 \text{ м} - (-0.04 \text{ м}) = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|d_y| = |0.04 \text{ м}| = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $d_x = x_{d2} - x_{d1} = 0.06 \text{ м} - 0.03 \text{ м} = 0.03 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{d}$: $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2} = \sqrt{(0.03 \text{ м})^2 + (0.04 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2 + 0.0016 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0025 \text{ м}^2} = 0.05 \text{ м}$.

Ответ: 0.05 м (или 5 см).

Вектор $\vec{e}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{e}$ находится в точке с координатами $(1; -4)$, а конец — в точке $(1; -1)$.

Ответ: начало (1; -4) см, конец (1; -1) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{e}$ на ось $y$ равна: $e_y = y_{e2} - y_{e1} = -0.01 \text{ м} - (-0.04 \text{ м}) = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|e_y| = |0.03 \text{ м}| = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $e_x = x_{e2} - x_{e1} = 0.01 \text{ м} - 0.01 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{e}$: $|\vec{e}| = \sqrt{e_x^2 + e_y^2} = \sqrt{(0 \text{ м})^2 + (0.03 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2} = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).