Страница 334 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Для каждого из векторов, изображённых на рисунке 227, определите:

а) координаты начала и конца;

б) проекции на ось $y$;

в) модули проекций на ось $y$;

г) модули векторов.

Рис. 227

Дано:

Начальные данные взяты из рисунка 227. Координаты и длины на осях указаны в сантиметрах (см).

Для проведения вычислений в Международной системе единиц (СИ) переведем все величины в метры (м), используя соотношение $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Координаты начала и конца векторов в СИ:

• Вектор $\vec{a}$: начало $(x_{a1}, y_{a1}) = (0.01, 0.05)$ м, конец $(x_{a2}, y_{a2}) = (0.01, 0.02)$ м.
• Вектор $\vec{b}$: начало $(x_{b1}, y_{b1}) = (0.02, 0)$ м, конец $(x_{b2}, y_{b2}) = (0.05, 0.04)$ м.
• Вектор $\vec{c}$: начало $(x_{c1}, y_{c1}) = (0.05, 0.01)$ м, конец $(x_{c2}, y_{c2}) = (0.07, 0.01)$ м.
• Вектор $\vec{d}$: начало $(x_{d1}, y_{d1}) = (0.03, -0.04)$ м, конец $(x_{d2}, y_{d2}) = (0.06, 0)$ м.
• Вектор $\vec{e}$: начало $(x_{e1}, y_{e1}) = (0.01, -0.04)$ м, конец $(x_{e2}, y_{e2}) = (0.01, -0.01)$ м.

Найти:

Для каждого из векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$:

а) координаты начала и конца;

б) проекции на ось $y$;

в) модули проекций на ось $y$;

г) модули векторов.

Решение:

Для произвольного вектора $\vec{v}$ с началом в точке $(x_1, y_1)$ и концом в точке $(x_2, y_2)$ используются следующие формулы:

• Проекция на ось $x$: $v_x = x_2 - x_1$.
• Проекция на ось $y$: $v_y = y_2 - y_1$.
• Модуль вектора (длина): $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Вектор $\vec{a}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{a}$ находится в точке с координатами $(1; 5)$, а конец — в точке $(1; 2)$.

Ответ: начало (1; 5) см, конец (1; 2) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{a}$ на ось $y$ равна разности y-координат его конца и начала: $a_y = y_{a2} - y_{a1} = 0.02 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = -0.03 \text{ м}$.

Ответ: -0.03 м (или -3 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции — это абсолютное значение проекции: $|a_y| = |-0.03 \text{ м}| = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

г) модули векторов

Сначала найдем проекцию на ось $x$: $a_x = x_{a2} - x_{a1} = 0.01 \text{ м} - 0.01 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{a}$ найдем по теореме Пифагора: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(0 \text{ м})^2 + (-0.03 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2} = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

Вектор $\vec{b}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{b}$ находится в точке с координатами $(2; 0)$, а конец — в точке $(5; 4)$.

Ответ: начало (2; 0) см, конец (5; 4) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{b}$ на ось $y$ равна: $b_y = y_{b2} - y_{b1} = 0.04 \text{ м} - 0 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|b_y| = |0.04 \text{ м}| = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $b_x = x_{b2} - x_{b1} = 0.05 \text{ м} - 0.02 \text{ м} = 0.03 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{(0.03 \text{ м})^2 + (0.04 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2 + 0.0016 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0025 \text{ м}^2} = 0.05 \text{ м}$.

Ответ: 0.05 м (или 5 см).

Вектор $\vec{c}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{c}$ находится в точке с координатами $(5; 1)$, а конец — в точке $(7; 1)$.

Ответ: начало (5; 1) см, конец (7; 1) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{c}$ на ось $y$ равна: $c_y = y_{c2} - y_{c1} = 0.01 \text{ м} - 0.01 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Ответ: 0 м (или 0 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|c_y| = |0 \text{ м}| = 0 \text{ м}$.

Ответ: 0 м (или 0 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $c_x = x_{c2} - x_{c1} = 0.07 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = 0.02 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} = \sqrt{(0.02 \text{ м})^2 + (0 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0004 \text{ м}^2} = 0.02 \text{ м}$.

Ответ: 0.02 м (или 2 см).

Вектор $\vec{d}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{d}$ находится в точке с координатами $(3; -4)$, а конец — в точке $(6; 0)$.

Ответ: начало (3; -4) см, конец (6; 0) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{d}$ на ось $y$ равна: $d_y = y_{d2} - y_{d1} = 0 \text{ м} - (-0.04 \text{ м}) = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|d_y| = |0.04 \text{ м}| = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: 0.04 м (или 4 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $d_x = x_{d2} - x_{d1} = 0.06 \text{ м} - 0.03 \text{ м} = 0.03 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{d}$: $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2} = \sqrt{(0.03 \text{ м})^2 + (0.04 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2 + 0.0016 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0025 \text{ м}^2} = 0.05 \text{ м}$.

Ответ: 0.05 м (или 5 см).

Вектор $\vec{e}$

а) координаты начала и конца

Считываем координаты с графика: начало вектора $\vec{e}$ находится в точке с координатами $(1; -4)$, а конец — в точке $(1; -1)$.

Ответ: начало (1; -4) см, конец (1; -1) см.

б) проекции на ось y

Проекция вектора $\vec{e}$ на ось $y$ равна: $e_y = y_{e2} - y_{e1} = -0.01 \text{ м} - (-0.04 \text{ м}) = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

в) модули проекций на ось y

Модуль проекции: $|e_y| = |0.03 \text{ м}| = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

г) модули векторов

Найдем проекцию на ось $x$: $e_x = x_{e2} - x_{e1} = 0.01 \text{ м} - 0.01 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Модуль вектора $\vec{e}$: $|\vec{e}| = \sqrt{e_x^2 + e_y^2} = \sqrt{(0 \text{ м})^2 + (0.03 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0009 \text{ м}^2} = 0.03 \text{ м}$.

Ответ: 0.03 м (или 3 см).

2. На рисунке 228 векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны оси X, а векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ параллельны ей. Выразите проекции $a_x$, $b_x$, $c_x$ и $d_x$ через модули этих векторов или соответствующие числа.

Рис. 228

Решение

Проекция вектора на ось — это скалярная величина, которая находится по формуле $V_x = |\vec{V}| \cos(\alpha)$, где $V_x$ — проекция вектора $\vec{V}$ на ось X, $|\vec{V}|$ — модуль вектора, а $\alpha$ — угол между направлением вектора и положительным направлением оси X.

$a_x$

Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен оси X. Согласно рисунку, он направлен вертикально вниз, поэтому угол между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси X составляет $270^\circ$. Проекция любого вектора, перпендикулярного оси, на эту ось равна нулю.

$a_x = |\vec{a}| \cos(270^\circ) = |\vec{a}| \cdot 0 = 0$.

Ответ: $a_x = 0$.

$b_x$

Вектор $\vec{b}$ параллелен оси X и его направление совпадает с положительным направлением оси (сонаправлен). Следовательно, угол между вектором $\vec{b}$ и осью X равен $0^\circ$. В этом случае проекция вектора на ось положительна и равна его модулю.

$b_x = |\vec{b}| \cos(0^\circ) = |\vec{b}| \cdot 1 = |\vec{b}|$.

Ответ: $b_x = |\vec{b}|$.

$c_x$

Вектор $\vec{c}$ перпендикулярен оси X. Согласно рисунку, он направлен вертикально вверх, поэтому угол между вектором $\vec{c}$ и положительным направлением оси X составляет $90^\circ$. Проекция этого вектора на ось X также равна нулю.

$c_x = |\vec{c}| \cos(90^\circ) = |\vec{c}| \cdot 0 = 0$.

Ответ: $c_x = 0$.

$d_x$

Вектор $\vec{d}$ параллелен оси X, но его направление противоположно положительному направлению оси (противонаправлен). Угол между вектором $\vec{d}$ и осью X равен $180^\circ$. В этом случае проекция вектора на ось отрицательна, а ее модуль равен модулю вектора.

$d_x = |\vec{d}| \cos(180^\circ) = |\vec{d}| \cdot (-1) = -|\vec{d}|$.

Ответ: $d_x = -|\vec{d}|$.

3. На рисунке 229 изображена траектория движения шарика, переместившегося из точки A в точку B. Определите:

а) координаты начального и конечного положений шарика;

б) проекции $s_x$ и $s_y$ перемещения шарика;

в) модули $|s_x|$ и $|s_y|$ проекций перемещения;

г) модуль перемещения $|\vec{s}|$.

Рис. 229

Дано:

Координаты начальной точки A: $x_A = 1$ см, $y_A = 2$ см.

Координаты конечной точки B: $x_B = 12$ см, $y_B = -3$ см.

Перевод данных в систему СИ:

$x_A = 0.01$ м

$y_A = 0.02$ м

$x_B = 0.12$ м

$y_B = -0.03$ м

Найти:

а) координаты точек A и B;

б) $s_x$, $s_y$;

в) $|s_x|$, $|s_y|$;

г) $|\vec{s}|$.

Решение:

а) координаты начального и конечного положений шарика;

Координаты точек определяются по графику на рисунке 229. Оси координат $x$ и $y$ проградуированы в сантиметрах (см).

Начальное положение шарика соответствует точке А. Её координаты: $x_A = 1$ см, $y_A = 2$ см.

Конечное положение шарика соответствует точке B. Её координаты: $x_B = 12$ см, $y_B = -3$ см.

Ответ: Начальные координаты A(1; 2) см, конечные координаты B(12; -3) см.

б) проекции $s_x$ и $s_y$ перемещения шарика;

Проекция вектора перемещения на координатную ось равна разности между конечной и начальной координатами тела вдоль этой оси. Перемещение — это вектор $\vec{s}$, соединяющий начальную точку A с конечной точкой B.

Проекция вектора перемещения на ось Ox: $s_x = x_B - x_A = 12 \text{ см} - 1 \text{ см} = 11 \text{ см}$.

Проекция вектора перемещения на ось Oy: $s_y = y_B - y_A = (-3 \text{ см}) - 2 \text{ см} = -5 \text{ см}$.

Ответ: $s_x = 11$ см, $s_y = -5$ см.

в) модули $|s_x|$ и $|s_y|$ проекций перемещения;

Модуль проекции — это абсолютное значение (величина без знака) этой проекции. Модуль показывает длину проекции вектора на ось.

Модуль проекции на ось Ox: $|s_x| = |11 \text{ см}| = 11 \text{ см}$.

Модуль проекции на ось Oy: $|s_y| = |-5 \text{ см}| = 5 \text{ см}$.

Ответ: $|s_x| = 11$ см, $|s_y| = 5$ см.

г) модуль перемещения $|\vec{s}|$.

Модуль вектора перемещения $|\vec{s}|$ — это длина отрезка AB. Его можно найти по теореме Пифагора, так как вектор перемещения является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются модули его проекций $|s_x|$ и $|s_y|$.

Формула для расчета модуля: $|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$.

Подставляем найденные значения проекций:

$|\vec{s}| = \sqrt{(11 \text{ см})^2 + (-5 \text{ см})^2} = \sqrt{121 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2} = \sqrt{146 \text{ см}^2} = \sqrt{146}$ см.

Вычислим приближенное значение корня: $\sqrt{146} \approx 12,08$ см.

Ответ: $|\vec{s}| = \sqrt{146}$ см $\approx 12,08$ см.