Страница 335 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Катер переместился относительно пристани из точки $A(-8 \text{ м}; -2 \text{ м})$ в точку $B(4 \text{ м}; 3 \text{ м})$. Сделайте чертёж, совместив начало координат с пристанью и указав на нём точки $A$ и $B$. Определите перемещение катера $AB$. Мог ли путь, проделанный катером, быть больше совершённого им перемещения; меньше перемещения; равен перемещению? Все ответы обоснуйте.

Дано:

Начальная точка: $A(x_A; y_A)$, где $x_A = -8$ м, $y_A = -2$ м.

Конечная точка: $B(x_B; y_B)$, где $x_B = 4$ м, $y_B = 3$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Перемещение катера $\vec{s} = \vec{AB}$ и его модуль $|\vec{s}|$.

Определить, мог ли путь $L$ быть больше, меньше или равен перемещению.

Решение:

Сначала выполним чертёж и определим перемещение катера. В прямоугольной системе координат, где начало отсчета (пристань) находится в точке $O(0;0)$, отметим точки $A(-8; -2)$ и $B(4; 3)$. Вектор перемещения $\vec{s}$ (или $\vec{AB}$) будет направлен от точки A к точке B.

Перемещение — это векторная величина. Найдем его проекции на оси координат:

$s_x = x_B - x_A = 4 - (-8) = 12$ м

$s_y = y_B - y_A = 3 - (-2) = 5$ м

Таким образом, вектор перемещения катера $\vec{s}$ имеет координаты $(12; 5)$.

Модуль перемещения — это длина вектора $\vec{s}$, которую можно найти по теореме Пифагора:

$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ м.

Ответ: Вектор перемещения катера $\vec{s} = (12; 5)$ м, модуль перемещения равен $13$ м.

Мог ли путь, проделанный катером, быть больше совершённого им перемещения;

Да, мог. Путь — это длина траектории движения тела. Модуль перемещения — это длина отрезка прямой, соединяющего начальную и конечную точки. Если катер двигался из точки А в точку В не по прямой, а по любой другой криволинейной траектории (например, огибая препятствие), то пройденный им путь будет больше модуля перемещения.

Ответ: Да, мог, если траектория движения была криволинейной.

меньше перемещения;

Нет, не мог. Модуль перемещения представляет собой кратчайшее расстояние между двумя точками (длину отрезка прямой). Любая другая траектория между этими же точками будет длиннее. Поэтому путь, как длина фактической траектории, не может быть меньше модуля перемещения. В общем случае, путь $L$ всегда больше или равен модулю перемещения $|\vec{s}|$: $L \ge |\vec{s}|$.

Ответ: Нет, не мог, так как перемещение — это кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками.

равен перемещению?

Да, мог. Путь равен модулю перемещения только в одном случае: если тело двигалось прямолинейно и в одном направлении. Если катер плыл из точки А в точку В строго по прямой, не меняя направления, то пройденный им путь будет равен модулю его перемещения, то есть $13$ м.

Ответ: Да, мог, если катер двигался прямолинейно от точки А к точке В.

5. Известно, что для определения координаты прямолинейно движущегося тела используется уравнение $x = x_0 + s_x$. Докажите, что координата тела при его прямолинейном равномерном движении для любого момента времени определяется с помощью уравнения $x = x_0 + v_x t$, где $x_0$ и $v_x$ — постоянные величины, а $t$ — переменная.

Решение

В задаче дано общее уравнение для определения координаты тела при любом прямолинейном движении: $$x = x_0 + s_x$$ Здесь $x$ — это координата тела в момент времени $t$, $x_0$ — его начальная координата (в момент $t=0$), а $s_x$ — проекция перемещения тела на ось $Ox$ за время $t$.

Нам нужно доказать, что для частного случая — прямолинейного равномерного движения — это уравнение принимает вид $x = x_0 + v_x t$.

Прямолинейное равномерное движение характеризуется тем, что скорость тела $\vec{v}$ постоянна по модулю и направлению. Следовательно, проекция скорости на любую ось, в том числе на ось $Ox$, также является постоянной величиной: $v_x = \text{const}$.

По определению, перемещение $\vec{s}$ при движении с постоянной скоростью $\vec{v}$ за время $t$ равно: $$\vec{s} = \vec{v}t$$

Спроецировав это векторное равенство на ось $Ox$, мы получим выражение для проекции перемещения $s_x$: $$s_x = v_x t$$

Теперь подставим это выражение для $s_x$ в исходное общее уравнение координаты: $$x = x_0 + s_x$$ $$x = x_0 + v_x t$$

Мы получили искомое уравнение. Оно показывает, как координата $x$ тела, движущегося прямолинейно и равномерно, зависит от времени $t$. В этом уравнении $x_0$ (начальная координата) и $v_x$ (проекция скорости) являются постоянными величинами, характеризующими конкретное движение, а $t$ (время) — переменной. Это и требовалось доказать.

Ответ: Для прямолинейного равномерного движения проекция перемещения за время $t$ определяется как $s_x = v_x t$, где $v_x$ — постоянная проекция скорости. Подстановка этого выражения в общее уравнение координаты $x = x_0 + s_x$ приводит к уравнению $x = x_0 + v_x t$, что доказывает утверждение задачи.

6. Тело движется прямолинейно со скоростью $5 \text{ м/с}$ в положительном направлении оси $X$. Запишите уравнение движения тела, если в момент начала наблюдения его координата равна $3 \text{ м}$.

Дано:

Скорость тела $v = 5$ м/с

Начальная координата $x_0 = 3$ м

Найти:

Уравнение движения тела $x(t)$.

Решение:

Поскольку тело движется прямолинейно с постоянной скоростью, его движение является равномерным. Общий вид уравнения для равномерного прямолинейного движения вдоль оси X записывается следующим образом: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x(t)$ — это координата тела в любой момент времени $t$, $x_0$ — начальная координата тела (при $t=0$), а $v_x$ — проекция скорости на ось X.

Из условия задачи нам известна начальная координата тела: $x_0 = 3$ м.

Также дано, что тело движется в положительном направлении оси X. Это значит, что проекция скорости на ось X будет положительной и равной по модулю самой скорости: $v_x = v = 5$ м/с.

Теперь необходимо подставить известные значения $x_0$ и $v_x$ в общее уравнение движения: $x(t) = 3 + 5 \cdot t$.

Полученное выражение и является искомым уравнением движения тела. В этом уравнении координата $x$ измеряется в метрах (м), а время $t$ — в секундах (с).

Ответ: $x(t) = 3 + 5t$.

7. Два поезда — пассажирский и грузовой — движутся по параллельным путям. Относительно здания вокзала движение пассажирского локомотива описывается уравнением $x_{\text{П}} = 260 - 10t$ (м), а грузового — уравнением $x_{\text{Г}} = -100 + 8t$ (м). Через какой промежуток времени от начала наблюдения локомотивы встретились? Какова координата места их встречи?

Дано:

Уравнение движения пассажирского локомотива: $x_п(t) = 260 - 10t$ (м)

Уравнение движения грузового локомотива: $x_г(t) = -100 + 8t$ (м)

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$t_{встр}$ — время встречи локомотивов

$x_{встр}$ — координата места встречи

Решение:

Движение локомотивов является равномерным прямолинейным, так как их уравнения движения $x(t)$ имеют линейную зависимость от времени $t$. Общий вид такого уравнения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось Ox.

Через какой промежуток времени от начала наблюдения локомотивы встретились?

Встреча локомотивов произойдет в тот момент времени $t$, когда их координаты будут равны. Обозначим этот момент как $t_{встр}$. В этот момент должно выполняться условие $x_п(t_{встр}) = x_г(t_{встр})$.

Приравняем правые части уравнений движения:

$260 - 10t = -100 + 8t$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменной $t$ в одной части, а постоянные члены — в другой:

$260 + 100 = 8t + 10t$

$360 = 18t$

Отсюда находим время встречи:

$t = \frac{360}{18} = 20 \text{ с}$

Ответ: Локомотивы встретились через $20 \text{ с}$ от начала наблюдения.

Какова координата места их встречи?

Чтобы найти координату места встречи $x_{встр}$, необходимо подставить найденное время $t = 20 \text{ с}$ в любое из исходных уравнений движения.

Подставим в уравнение движения пассажирского локомотива:

$x_{встр} = 260 - 10 \cdot 20 = 260 - 200 = 60 \text{ м}$

Для проверки выполним подстановку в уравнение движения грузового локомотива:

$x_{встр} = -100 + 8 \cdot 20 = -100 + 160 = 60 \text{ м}$

Так как результаты совпали, координата места встречи найдена верно.

Ответ: Координата места встречи локомотивов равна $60 \text{ м}$.

8. Туристы сплавляются на плоту по реке. На рисунке 230 показано, как меняется со временем координата плота относительно места стоянки туристов (точки $\text{O}$). Начало наблюдения совпадает с моментом спуска плота на воду и началом движения. Где плот был спущен на воду: от места стоянки, выше по течению или ниже? Если выше или ниже места стоянки, то на сколько метров? Определите начальную координату и скорость движения плота и запишите уравнение движения плота. На осях графика: $x, \text{М}$

Где плот был спущен на воду: от места стоянки, выше по течению или ниже? Если выше или ниже места стоянки, то на сколько метров?

Определите начальную координату и скорость движения плота и запишите уравнение движения плота.

Рис. 230

Где плот был спущен на воду: от места стоянки, выше по течению или ниже? Если выше или ниже места стоянки, то на сколько метров?

Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ с, координата плота $x_0 = -10$ м. Точка стоянки туристов находится в начале координат ($x=0$ м). Поскольку координата плота со временем увеличивается (движение происходит в положительном направлении оси $x$), а начальная координата отрицательна, то плот был спущен на воду выше по течению реки. Расстояние от места спуска до стоянки равно абсолютному значению начальной координаты, то есть $|-10 \text{ м}| = 10 \text{ м}$.

Ответ: плот был спущен на воду на 10 м выше по течению от места стоянки.

Определите начальную координату и скорость движения плота и запишите уравнение движения плота.

Дано:

По данным графика:

$t_0 = 0$ с

$x_0 = -10$ м

$t_1 = 5$ с

$x_1 = 0$ м

(Все величины даны в системе СИ)

Найти:

$x_0$ - ?

$v$ - ?

$x(t)$ - ?

Решение:

График зависимости координаты от времени $x(t)$ представляет собой прямую линию, следовательно, движение плота является равномерным прямолинейным.

1. Начальную координату определяем по графику в момент времени $t=0$. Она соответствует точке пересечения графика с осью ординат ($x$).

$x_0 = -10$ м.

2. Скорость движения плота $v$ постоянна и определяется как тангенс угла наклона графика к оси времени, или как отношение изменения координаты ко времени, за которое это изменение произошло. Возьмем две точки на графике: $(t_0; x_0) = (0 \text{ с}; -10 \text{ м})$ и $(t_1; x_1) = (5 \text{ с}; 0 \text{ м})$.

Формула скорости: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_1 - x_0}{t_1 - t_0}$.

Подставим значения: $v = \frac{0 \text{ м} - (-10 \text{ м})}{5 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{10 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$.

3. Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения имеет общий вид: $x(t) = x_0 + v \cdot t$.

Подставив найденные значения начальной координаты $x_0$ и скорости $v$, получаем искомое уравнение движения плота: $x(t) = -10 + 2t$ (где $x$ выражено в метрах, а $t$ — в секундах).

Ответ: начальная координата $x_0 = -10$ м, скорость движения плота $v = 2$ м/с, уравнение движения плота $x(t) = -10 + 2t$.

9. Мальчик съезжает с горы на санках, двигаясь из состояния покоя прямолинейно и равноускоренно. За первые 2 с после начала движения его скорость возрастает до 3 м/с. Через какой промежуток времени от начала движения скорость мальчика станет равной 4,5 м/с? Какой путь он пройдёт за этот промежуток времени?

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с (движение из состояния покоя)

Время первого промежутка: $t_1 = 2$ с

Скорость в конце первого промежутка: $v_1 = 3$ м/с

Конечная скорость: $v_2 = 4,5$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$t_2$ — время достижения скорости $v_2$

$S_2$ — путь, пройденный за время $t_2$

Решение:

По условию задачи, движение мальчика является прямолинейным и равноускоренным. Так как он начинает движение "из состояния покоя", его начальная скорость $v_0 = 0$.

Основная формула для скорости при равноускоренном движении имеет вид: $v = v_0 + at$. Поскольку $v_0 = 0$, формула для данного случая упрощается до $v = at$.

Сначала найдём ускорение $a$, с которым движется мальчик. Для этого используем данные для первого промежутка времени: за $t_1 = 2$ с скорость увеличилась до $v_1 = 3$ м/с.

Выразим ускорение из формулы: $a = \frac{v_1}{t_1}$.

Подставим числовые значения:

$a = \frac{3 \text{ м/с}}{2 \text{ с}} = 1,5 \text{ м/с}^2$.

Теперь, зная ускорение, мы можем ответить на первый вопрос задачи — найти промежуток времени $t_2$, по истечении которого скорость мальчика станет равной $v_2 = 4,5$ м/с.

Используя ту же формулу $v = at$, выразим время $t_2$:

$t_2 = \frac{v_2}{a} = \frac{4,5 \text{ м/с}}{1,5 \text{ м/с}^2} = 3 \text{ с}$.

Для ответа на второй вопрос необходимо найти путь $S_2$, который мальчик пройдёт за найденное время $t_2 = 3$ с.

Формула пути при равноускоренном движении: $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Так как $v_0 = 0$, формула упрощается до $S = \frac{at^2}{2}$.

Подставим наши значения:

$S_2 = \frac{1,5 \text{ м/с}^2 \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{1,5 \cdot 9}{2} \text{ м} = \frac{13,5}{2} \text{ м} = 6,75 \text{ м}$.

Ответ: скорость мальчика станет равной 4,5 м/с через 3 с от начала движения; за это время он пройдёт путь 6,75 м.