Страница 339 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

30. На рисунке 235 изображены равные по массе шарики 1 и 2, привязанные к нитям длиной $r$ и $2r$ соответственно и движущиеся по окружностям с одинаковой по модулю скоростью $\vec{v}$. Сравните центростремительные ускорения, с которыми движутся шарики, и силы натяжения нитей.

Рис. 235

Дано:

Массы шариков: $m_1 = m_2 = m$

Длины нитей (радиусы окружностей): $r_1 = r$, $r_2 = 2r$

Скорости шариков: $v_1 = v_2 = v$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения $a_{ц1}$ и $a_{ц2}$.

Сравнить силы натяжения нитей $T_1$ и $T_2$.

Решение:

Сравнение центростремительных ускорений

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, определяется по формуле: $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — линейная скорость тела, а $R$ — радиус окружности.

Найдем центростремительное ускорение для первого шарика: $a_{ц1} = \frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v^2}{r}$

Найдем центростремительное ускорение для второго шарика: $a_{ц2} = \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{v^2}{2r}$

Теперь сравним полученные значения, найдя их отношение: $\frac{a_{ц1}}{a_{ц2}} = \frac{\frac{v^2}{r}}{\frac{v^2}{2r}} = \frac{v^2}{r} \cdot \frac{2r}{v^2} = 2$

Следовательно, $a_{ц1} = 2a_{ц2}$.

Ответ: Центростремительное ускорение первого шарика в 2 раза больше, чем центростремительное ускорение второго шарика.

Сравнение сил натяжения нитей

Согласно второму закону Ньютона, сила, вызывающая центростремительное ускорение (центростремительная сила), равна $F_ц = m \cdot a_ц$. В данном случае роль этой силы выполняет сила натяжения нити $T$. Таким образом, $T = F_ц$.

Найдем силу натяжения нити для первого шарика: $T_1 = m_1 \cdot a_{ц1} = m \cdot \frac{v^2}{r}$

Найдем силу натяжения нити для второго шарика: $T_2 = m_2 \cdot a_{ц2} = m \cdot \frac{v^2}{2r}$

Теперь сравним полученные значения, найдя их отношение: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{m \frac{v^2}{r}}{m \frac{v^2}{2r}} = \frac{\frac{1}{r}}{\frac{1}{2r}} = \frac{1}{r} \cdot \frac{2r}{1} = 2$

Следовательно, $T_1 = 2T_2$.

Ответ: Сила натяжения нити для первого шарика в 2 раза больше, чем сила натяжения нити для второго шарика.

31. Исходя из формулы $a_{\text{ц. с}} = \frac{v^2}{r}$ для определения центростремительного ускорения при движении по окружности и формулы $g = \frac{g_0R_3^2}{(R_3 + h)^2}$, выведенной вами при решении задачи 25, получите следующую формулу для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ над поверхностью Земли: $v = \sqrt{\frac{g_0R_3^2}{R_3 + h}}$.

Дано:

Формула центростремительного ускорения: $a_{ц.с} = \frac{v^2}{r}$

Формула ускорения свободного падения на высоте $h$: $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Обозначения:

$v$ – первая космическая скорость на высоте $h$

$r$ – радиус орбиты

$R_З$ – радиус Земли

$h$ – высота над поверхностью Земли

$g_0$ – ускорение свободного падения на поверхности Земли (при $h=0$)

Найти:

Получить формулу для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ над поверхностью Земли: $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Решение:

Первая космическая скорость – это скорость, с которой тело должно двигаться по круговой орбите на высоте $h$ над поверхностью Земли. Движение по круговой орбите возможно, когда сила гравитационного притяжения является единственной силой, действующей на тело, и она сообщает ему центростремительное ускорение. Это означает, что ускорение, сообщаемое силой тяжести (ускорение свободного падения $g$), равно центростремительному ускорению $a_{ц.с}$ для тела на орбите.

Запишем это условие в виде равенства:

$a_{ц.с} = g$

Теперь подставим в это равенство выражения для $a_{ц.с}$ и $g$.

Центростремительное ускорение определяется скоростью $v$ и радиусом окружности $r$. В данном случае радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$: $r = R_З + h$.

Подставляя это в формулу для центростремительного ускорения, получаем:

$a_{ц.с} = \frac{v^2}{R_З + h}$

Ускорение свободного падения $g$ на высоте $h$ задано в условии:

$g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Приравняем правые части выражений для $a_{ц.с}$ и $g$:

$\frac{v^2}{R_З + h} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Для того чтобы выразить скорость $v$, сначала найдём $v^2$. Умножим обе части уравнения на $(R_З + h)$:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2} \cdot (R_З + h)$

Сократим общий множитель $(R_З + h)$ в числителе и знаменателе правой части уравнения:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}$

Наконец, чтобы найти саму скорость $v$, извлечём квадратный корень из обеих частей полученного выражения:

$v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Таким образом, требуемая формула для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ получена.

Ответ: Искомая формула $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$ выводится из условия равенства центростремительного ускорения $a_{ц.с} = \frac{v^2}{R_З+h}$ и ускорения свободного падения на высоте орбиты $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$. Из равенства $\frac{v^2}{R_З + h} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$ путём алгебраических преобразований выражается скорость $v$.

32. Среднее значение радиуса Земли равно 6400 км, а ускорение свободного падения у земной поверхности $9,8 \text{ м/с}^2$. Пользуясь только этими данными, вычислите первую космическую скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли.

Дано:

Средний радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g_0 = 9.8 \text{ м/с}^2$

Высота над поверхностью Земли, $h = 3600 \text{ км} = 3600 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость на высоте $h$, $v_1$

Решение:

Первая космическая скорость (или орбитальная скорость) на расстоянии $r$ от центра планеты определяется по формуле: $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты (в данном случае Земли, $M_З$).

Расстояние $r$ от центра Земли до спутника равно сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ над поверхностью: $r = R_З + h$

Ускорение свободного падения $g_0$ на поверхности Земли связано с её массой $M_З$ и радиусом $R_З$ следующим соотношением: $g_0 = \frac{GM_З}{R_З^2}$

Так как по условию задачи мы должны использовать только предоставленные данные ($R_З, g_0, h$), выразим произведение $GM_З$ из формулы для ускорения свободного падения: $GM_З = g_0 R_З^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для первой космической скорости: $v_1 = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{r}}$ Заменив $r$ на $R_З + h$, получим итоговую расчетную формулу: $v_1 = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $v_1 = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 3.6 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{9.8 \cdot (6.4 \cdot 10^6)^2}{10 \cdot 10^6}} \text{ м/с}$

$v_1 = \sqrt{\frac{9.8 \cdot 40.96 \cdot 10^{12}}{10^7}} \text{ м/с} = \sqrt{40.1408 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 6335.7 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют по две значащие цифры: $v_1 \approx 6.3 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 6.3 \text{ км/с}$

Ответ: $v_1 \approx 6.3 \text{ км/с}$

33. Постройте график зависимости проекции вектора скорости от времени для тела, свободно падающего в течение 4 с ($v_0 = 0$, считать $g = 10 \text{ м}/\text{с}^2$).

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Время движения: $t_{max} = 4 \text{ с}$

Ускорение свободного падения: $g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Построить график зависимости проекции вектора скорости от времени $v_y(t)$.

Решение:

Свободное падение тела — это частный случай равноускоренного движения. Зависимость проекции скорости от времени при таком движении описывается уравнением:$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$, где $v_{0y}$ — проекция начальной скорости, а $a_y$ — проекция ускорения на ось $OY$.

Для удобства выберем систему отсчета, в которой ось $OY$ направлена вертикально вниз, а начало отсчета совпадает с начальным положением тела. В этом случае движение происходит вдоль оси $OY$.

Поскольку тело начинает падать из состояния покоя, его начальная скорость равна нулю, следовательно, и ее проекция на ось $OY$ равна нулю: $v_{0y} = 0$.

Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ всегда направлен вертикально вниз, то есть совпадает с направлением оси $OY$. Поэтому его проекция на эту ось положительна и равна модулю ускорения: $a_y = g = 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим значения $v_{0y}$ и $a_y$ в общее уравнение для скорости:$v_y(t) = 0 + gt = 10t$.

Полученная зависимость $v_y(t) = 10t$ является линейной. Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат.

Для построения графика найдем значения скорости в двух точках: в начальный момент времени и в конечный момент времени.

1. При $t = 0 \text{ с}$, скорость $v_y(0) = 10 \cdot 0 = 0 \text{ м/с}$. Это точка $(0; 0)$.

2. При $t = 4 \text{ с}$, скорость $v_y(4) = 10 \cdot 4 = 40 \text{ м/с}$. Это точка $(4; 40)$.

Соединив эти две точки, мы получим график зависимости проекции скорости от времени для данного тела на интервале от $0$ до $4$ секунд.

Ответ:

График зависимости проекции вектора скорости от времени $v_y(t)$ для тела, свободно падающего без начальной скорости, представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат. Уравнение этой зависимости $v_y = 10t$. График построен выше.

34. Тело массой 0,3 кг свободно падает из состояния покоя в течение 3 с. На сколько увеличивается его импульс за первую секунду падения; за вторую секунду падения?

Дано:

Масса тела, $m = 0.3$ кг

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

$\Delta p_1$ - увеличение импульса за первую секунду падения

$\Delta p_2$ - увеличение импульса за вторую секунду падения

Решение:

Изменение импульса тела $\Delta p$ за промежуток времени $\Delta t$ связано с силой $F$, действующей на тело, вторым законом Ньютона в импульсной форме: $\Delta p = F \cdot \Delta t$.

При свободном падении на тело действует только сила тяжести, которая постоянна и равна $F = F_g = mg$. Следовательно, изменение импульса за любой промежуток времени $\Delta t$ можно рассчитать как $\Delta p = mg \Delta t$.

за первую секунду падения:

Первая секунда падения соответствует временному интервалу от $t_0 = 0$ с до $t_1 = 1$ с. Таким образом, продолжительность этого интервала $\Delta t_1 = 1$ с.

Увеличение импульса за это время равно:

$\Delta p_1 = mg \Delta t_1 = 0.3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: увеличение импульса за первую секунду падения составляет 3 кг⋅м/с.

за вторую секунду падения:

Вторая секунда падения — это временной интервал от $t_1 = 1$ с до $t_2 = 2$ с. Продолжительность этого интервала также составляет $\Delta t_2 = 1$ с.

Поскольку сила тяжести постоянна, а временной интервал такой же, как и в первом случае, то и увеличение импульса будет таким же.

$\Delta p_2 = mg \Delta t_2 = 0.3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Можно также решить эту часть, рассчитав импульсы в моменты времени $t_1 = 1$ с и $t_2 = 2$ с.

Скорость тела в момент времени $t$ при свободном падении из состояния покоя: $v(t) = gt$.

Скорость в конце первой секунды: $v_1 = g \cdot t_1 = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 10 \text{ м/с}$.

Импульс в этот момент: $p_1 = m v_1 = 0.3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Скорость в конце второй секунды: $v_2 = g \cdot t_2 = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ с} = 20 \text{ м/с}$.

Импульс в этот момент: $p_2 = m v_2 = 0.3 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с} = 6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Увеличение импульса за вторую секунду: $\Delta p_2 = p_2 - p_1 = 6 \text{ кг}\cdot\text{м/с} - 3 \text{ кг}\cdot\text{м/с} = 3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: увеличение импульса за вторую секунду падения составляет 3 кг⋅м/с.

35. С помощью графика, построенного вами при решении задачи 33, покажите, что импульс свободно падающего тела за равные промежутки времени меняется на одну и ту же величину.

Решение

Задача 35 ссылается на задачу 33, в которой, по-видимому, требовалось построить график зависимости импульса свободно падающего тела от времени. Восстановим логику построения этого графика и используем его для доказательства.

Импульс тела ($p$) определяется как произведение его массы ($m$) на скорость ($v$): $p = mv$. При свободном падении тела без начальной скорости ($v_0=0$) его скорость в момент времени $t$ описывается формулой $v = gt$, где $g$ – ускорение свободного падения.

Подставив выражение для скорости в формулу импульса, получим зависимость импульса от времени: $p(t) = m \cdot (gt) = (mg)t$

Эта зависимость является линейной функцией вида $y=kx$, где $p$ играет роль $y$, время $t$ – роль $x$, а коэффициент пропорциональности $k = mg$ является постоянной величиной (так как масса тела и ускорение свободного падения постоянны). Графиком такой функции является прямая линия, выходящая из начала координат.

Схематично этот график выглядит так:

Ключевое свойство прямой линии заключается в том, что ее наклон постоянен в любой точке. Наклон графика $p(t)$ определяется как отношение изменения импульса ($\Delta p$) к промежутку времени ($\Delta t$), за которое это изменение произошло. Это отношение равно тангенсу угла наклона прямой к оси времени и равно коэффициенту $k=mg$. $\frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} = k = mg = \text{const}$

Из этой формулы мы можем выразить изменение импульса: $\Delta p = (mg)\Delta t$. Поскольку величина $mg$ постоянна, то из этого соотношения напрямую следует, что если мы будем выбирать равные промежутки времени (например, $\Delta t_1 = \Delta t_2 = \dots$), то соответствующие им изменения импульса также будут равны ($\Delta p_1 = \Delta p_2 = \dots$).

На графике это показано выбором двух равных отрезков времени $\Delta t_1 = t_2 - t_1$ и $\Delta t_2 = t_4 - t_3$. Из-за того, что график является прямой линией, соответствующие им приращения импульса $\Delta p_1 = p_2 - p_1$ и $\Delta p_2 = p_4 - p_3$ оказываются равными.

Ответ:

График зависимости импульса свободно падающего тела от времени $p(t)$ является прямой линией. Угловой коэффициент (наклон) прямой постоянен, и он равен отношению изменения импульса к изменению времени: $k = \frac{\Delta p}{\Delta t}$. Так как $k$ является константой, то за равные промежутки времени $\Delta t$ тело всегда будет получать одинаковое приращение импульса $\Delta p = k \cdot \Delta t$.

36. Алюминиевый и медный шарики одинакового объёма свободно падают из состояния покоя с одной и той же высоты в течение 2,5 с. Импульс какого из шариков будет больше и во сколько раз к концу первой секунды падения; к концу второй секунды падения? Ответы обоснуйте.

Дано:

$V_{ал} = V_{м} = V$ (объемы шариков одинаковы)

$v_0 = 0$ м/с (начальная скорость)

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 2$ с

$\rho_{ал} = 2700$ кг/м³ (плотность алюминия)

$\rho_{м} = 8900$ кг/м³ (плотность меди)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

1. Чей импульс больше к концу $t_1$ и во сколько раз ($\frac{p_м(t_1)}{p_{ал}(t_1)}$)?

2. Чей импульс больше к концу $t_2$ и во сколько раз ($\frac{p_м(t_2)}{p_{ал}(t_2)}$)?

Решение:

Импульс тела определяется как произведение его массы на скорость:

$p = m \cdot v$

Поскольку шарики свободно падают из состояния покоя, их скорость в любой момент времени $t$ можно найти по формуле:

$v = v_0 + gt = 0 + gt = gt$

Так как оба шарика начинают падение одновременно из состояния покоя и с одной высоты, их скорости в любой момент времени будут одинаковы: $v_{ал}(t) = v_{м}(t) = v(t)$.

Масса каждого шарика связана с его плотностью и объемом по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Тогда массы алюминиевого и медного шариков равны:

$m_{ал} = \rho_{ал} \cdot V$

$m_{м} = \rho_{м} \cdot V$

Поскольку плотность меди ($\rho_{м} = 8900$ кг/м³) больше плотности алюминия ($\rho_{ал} = 2700$ кг/м³), а объемы шариков одинаковы, масса медного шарика больше массы алюминиевого: $m_{м} > m_{ал}$.

Импульсы шариков в момент времени $t$ равны:

$p_{ал}(t) = m_{ал} \cdot v(t) = (\rho_{ал} V) \cdot (gt)$

$p_{м}(t) = m_{м} \cdot v(t) = (\rho_{м} V) \cdot (gt)$

Так как $m_{м} > m_{ал}$ и скорости $v(t)$ в любой момент времени одинаковы, импульс медного шарика всегда будет больше импульса алюминиевого шарика.

Найдем, во сколько раз импульс медного шарика больше импульса алюминиевого. Для этого найдем отношение их импульсов:

$\frac{p_{м}(t)}{p_{ал}(t)} = \frac{m_{м} \cdot v(t)}{m_{ал} \cdot v(t)} = \frac{m_{м}}{m_{ал}} = \frac{\rho_{м} \cdot V}{\rho_{ал} \cdot V} = \frac{\rho_{м}}{\rho_{ал}}$

Как видно из формулы, отношение импульсов зависит только от отношения плотностей материалов и не зависит от времени падения.

Вычислим это отношение:

$\frac{p_{м}}{p_{ал}} = \frac{8900 \text{ кг/м³}}{2700 \text{ кг/м³}} = \frac{89}{27} \approx 3.3$

к концу первой секунды падения;

В момент времени $t_1 = 1$ с скорости обоих шариков одинаковы. Импульс медного шарика будет больше, так как его масса больше. Отношение импульсов не зависит от времени и равно отношению плотностей.

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

к концу второй секунды падения?

В момент времени $t_2 = 2$ с скорости обоих шариков также одинаковы (хоть и больше, чем в момент $t_1 = 1$ с). Отношение их импульсов по-прежнему определяется только отношением масс (и плотностей), поэтому результат будет таким же, как и для первой секунды.

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

37. Два одинаковых бильярдных шара, двигаясь вдоль одной прямой, сталкиваются друг с другом. Перед столкновением проекция вектора скорости первого шара на ось X была равна $v_{1x}$ = 0,2 м/с, а второго — $v_{2x}$ = 0,1 м/с. Определите проекцию вектора скорости второго шара после столкновения, если у первого она стала равна $v'_{1x}$ = 0,1 м/с.

Дано:

Массы шаров: $m_1 = m_2 = m$

Проекция скорости первого шара до столкновения: $v_{1x} = 0,2 \text{ м/с}$

Проекция скорости второго шара до столкновения: $v_{2x} = 0,1 \text{ м/с}$

Проекция скорости первого шара после столкновения: $v'_{1x} = 0,1 \text{ м/с}$

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

$v'_{2x}$ - ?

Решение:

Столкновение двух бильярдных шаров можно рассматривать в рамках замкнутой системы, поскольку внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции опоры) уравновешивают друг друга, а силой трения можно пренебречь по сравнению с большими силами, возникающими при ударе. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса гласит, что суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия. В векторной форме это записывается так:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v'_1} + m_2\vec{v'_2}$

Поскольку движение происходит вдоль одной прямой (оси X), мы можем записать закон сохранения импульса в проекциях на эту ось:

$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v'_{1x} + m_2 v'_{2x}$

Согласно условию задачи, бильярдные шары одинаковые, следовательно, их массы равны: $m_1 = m_2 = m$. Мы можем сократить массу в обеих частях уравнения:

$m(v_{1x} + v_{2x}) = m(v'_{1x} + v'_{2x})$

$v_{1x} + v_{2x} = v'_{1x} + v'_{2x}$

Из полученного уравнения выразим искомую величину — проекцию скорости второго шара после столкновения ($v'_{2x}$):

$v'_{2x} = v_{1x} + v_{2x} - v'_{1x}$

Теперь подставим числовые значения из условия:

$v'_{2x} = 0,2 \text{ м/с} + 0,1 \text{ м/с} - 0,1 \text{ м/с}$

$v'_{2x} = 0,2 \text{ м/с}$

Ответ: проекция вектора скорости второго шара после столкновения равна $0,2 \text{ м/с}$.