Номер 35, страница 339 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

35. С помощью графика, построенного вами при решении задачи 33, покажите, что импульс свободно падающего тела за равные промежутки времени меняется на одну и ту же величину.

Решение

Задача 35 ссылается на задачу 33, в которой, по-видимому, требовалось построить график зависимости импульса свободно падающего тела от времени. Восстановим логику построения этого графика и используем его для доказательства.

Импульс тела ($p$) определяется как произведение его массы ($m$) на скорость ($v$): $p = mv$. При свободном падении тела без начальной скорости ($v_0=0$) его скорость в момент времени $t$ описывается формулой $v = gt$, где $g$ – ускорение свободного падения.

Подставив выражение для скорости в формулу импульса, получим зависимость импульса от времени: $p(t) = m \cdot (gt) = (mg)t$

Эта зависимость является линейной функцией вида $y=kx$, где $p$ играет роль $y$, время $t$ – роль $x$, а коэффициент пропорциональности $k = mg$ является постоянной величиной (так как масса тела и ускорение свободного падения постоянны). Графиком такой функции является прямая линия, выходящая из начала координат.

Схематично этот график выглядит так:

Ключевое свойство прямой линии заключается в том, что ее наклон постоянен в любой точке. Наклон графика $p(t)$ определяется как отношение изменения импульса ($\Delta p$) к промежутку времени ($\Delta t$), за которое это изменение произошло. Это отношение равно тангенсу угла наклона прямой к оси времени и равно коэффициенту $k=mg$. $\frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} = k = mg = \text{const}$

Из этой формулы мы можем выразить изменение импульса: $\Delta p = (mg)\Delta t$. Поскольку величина $mg$ постоянна, то из этого соотношения напрямую следует, что если мы будем выбирать равные промежутки времени (например, $\Delta t_1 = \Delta t_2 = \dots$), то соответствующие им изменения импульса также будут равны ($\Delta p_1 = \Delta p_2 = \dots$).

На графике это показано выбором двух равных отрезков времени $\Delta t_1 = t_2 - t_1$ и $\Delta t_2 = t_4 - t_3$. Из-за того, что график является прямой линией, соответствующие им приращения импульса $\Delta p_1 = p_2 - p_1$ и $\Delta p_2 = p_4 - p_3$ оказываются равными.

Ответ:

График зависимости импульса свободно падающего тела от времени $p(t)$ является прямой линией. Угловой коэффициент (наклон) прямой постоянен, и он равен отношению изменения импульса к изменению времени: $k = \frac{\Delta p}{\Delta t}$. Так как $k$ является константой, то за равные промежутки времени $\Delta t$ тело всегда будет получать одинаковое приращение импульса $\Delta p = k \cdot \Delta t$.