Номер 36, страница 339 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

36. Алюминиевый и медный шарики одинакового объёма свободно падают из состояния покоя с одной и той же высоты в течение 2,5 с. Импульс какого из шариков будет больше и во сколько раз к концу первой секунды падения; к концу второй секунды падения? Ответы обоснуйте.

Дано:

$V_{ал} = V_{м} = V$ (объемы шариков одинаковы)

$v_0 = 0$ м/с (начальная скорость)

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 2$ с

$\rho_{ал} = 2700$ кг/м³ (плотность алюминия)

$\rho_{м} = 8900$ кг/м³ (плотность меди)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

1. Чей импульс больше к концу $t_1$ и во сколько раз ($\frac{p_м(t_1)}{p_{ал}(t_1)}$)?

2. Чей импульс больше к концу $t_2$ и во сколько раз ($\frac{p_м(t_2)}{p_{ал}(t_2)}$)?

Решение:

Импульс тела определяется как произведение его массы на скорость:

$p = m \cdot v$

Поскольку шарики свободно падают из состояния покоя, их скорость в любой момент времени $t$ можно найти по формуле:

$v = v_0 + gt = 0 + gt = gt$

Так как оба шарика начинают падение одновременно из состояния покоя и с одной высоты, их скорости в любой момент времени будут одинаковы: $v_{ал}(t) = v_{м}(t) = v(t)$.

Масса каждого шарика связана с его плотностью и объемом по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Тогда массы алюминиевого и медного шариков равны:

$m_{ал} = \rho_{ал} \cdot V$

$m_{м} = \rho_{м} \cdot V$

Поскольку плотность меди ($\rho_{м} = 8900$ кг/м³) больше плотности алюминия ($\rho_{ал} = 2700$ кг/м³), а объемы шариков одинаковы, масса медного шарика больше массы алюминиевого: $m_{м} > m_{ал}$.

Импульсы шариков в момент времени $t$ равны:

$p_{ал}(t) = m_{ал} \cdot v(t) = (\rho_{ал} V) \cdot (gt)$

$p_{м}(t) = m_{м} \cdot v(t) = (\rho_{м} V) \cdot (gt)$

Так как $m_{м} > m_{ал}$ и скорости $v(t)$ в любой момент времени одинаковы, импульс медного шарика всегда будет больше импульса алюминиевого шарика.

Найдем, во сколько раз импульс медного шарика больше импульса алюминиевого. Для этого найдем отношение их импульсов:

$\frac{p_{м}(t)}{p_{ал}(t)} = \frac{m_{м} \cdot v(t)}{m_{ал} \cdot v(t)} = \frac{m_{м}}{m_{ал}} = \frac{\rho_{м} \cdot V}{\rho_{ал} \cdot V} = \frac{\rho_{м}}{\rho_{ал}}$

Как видно из формулы, отношение импульсов зависит только от отношения плотностей материалов и не зависит от времени падения.

Вычислим это отношение:

$\frac{p_{м}}{p_{ал}} = \frac{8900 \text{ кг/м³}}{2700 \text{ кг/м³}} = \frac{89}{27} \approx 3.3$

к концу первой секунды падения;

В момент времени $t_1 = 1$ с скорости обоих шариков одинаковы. Импульс медного шарика будет больше, так как его масса больше. Отношение импульсов не зависит от времени и равно отношению плотностей.

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

к концу второй секунды падения?

В момент времени $t_2 = 2$ с скорости обоих шариков также одинаковы (хоть и больше, чем в момент $t_1 = 1$ с). Отношение их импульсов по-прежнему определяется только отношением масс (и плотностей), поэтому результат будет таким же, как и для первой секунды.

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.