Номер 32, страница 339 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

32. Среднее значение радиуса Земли равно 6400 км, а ускорение свободного падения у земной поверхности $9,8 \text{ м/с}^2$. Пользуясь только этими данными, вычислите первую космическую скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли.

Дано:

Средний радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g_0 = 9.8 \text{ м/с}^2$

Высота над поверхностью Земли, $h = 3600 \text{ км} = 3600 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость на высоте $h$, $v_1$

Решение:

Первая космическая скорость (или орбитальная скорость) на расстоянии $r$ от центра планеты определяется по формуле: $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты (в данном случае Земли, $M_З$).

Расстояние $r$ от центра Земли до спутника равно сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ над поверхностью: $r = R_З + h$

Ускорение свободного падения $g_0$ на поверхности Земли связано с её массой $M_З$ и радиусом $R_З$ следующим соотношением: $g_0 = \frac{GM_З}{R_З^2}$

Так как по условию задачи мы должны использовать только предоставленные данные ($R_З, g_0, h$), выразим произведение $GM_З$ из формулы для ускорения свободного падения: $GM_З = g_0 R_З^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для первой космической скорости: $v_1 = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{r}}$ Заменив $r$ на $R_З + h$, получим итоговую расчетную формулу: $v_1 = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $v_1 = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 3.6 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{9.8 \cdot (6.4 \cdot 10^6)^2}{10 \cdot 10^6}} \text{ м/с}$

$v_1 = \sqrt{\frac{9.8 \cdot 40.96 \cdot 10^{12}}{10^7}} \text{ м/с} = \sqrt{40.1408 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 6335.7 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют по две значащие цифры: $v_1 \approx 6.3 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 6.3 \text{ км/с}$

Ответ: $v_1 \approx 6.3 \text{ км/с}$