Номер 28, страница 338 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

28. Имеются две абсолютно упругие пружины. К первой пружине подвешен груз массой 500 г, а ко второй — 200 г. При этом удлинения пружин оказались равными. Жёсткость какой пружины больше? Во сколько раз?

Дано:

Масса первого груза, $m_1 = 500$ г

Масса второго груза, $m_2 = 200$ г

Удлинение первой пружины, $x_1$

Удлинение второй пружины, $x_2$

По условию $x_1 = x_2$

В системе СИ:

$m_1 = 0.5$ кг

$m_2 = 0.2$ кг

Найти:

Жёсткость какой пружины больше? Во сколько раз? (т.е. найти отношение $\frac{k_1}{k_2}$)

Решение:

Когда груз подвешен к пружине и находится в состоянии покоя, сила упругости пружины $F_{упр}$, возникающая в ней, уравновешивает силу тяжести $F_{т}$, действующую на груз.

Сила тяжести вычисляется по формуле $F_т = m \cdot g$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

Сила упругости для абсолютно упругой пружины описывается законом Гука: $F_{упр} = k \cdot x$, где $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — её удлинение (деформация).

Запишем условие равновесия для первой пружины с грузом $m_1$:

$F_{упр1} = F_{т1}$

$k_1 \cdot x_1 = m_1 \cdot g$

Запишем условие равновесия для второй пружины с грузом $m_2$:

$F_{упр2} = F_{т2}$

$k_2 \cdot x_2 = m_2 \cdot g$

По условию задачи удлинения пружин одинаковы, то есть $x_1 = x_2$. Обозначим это равное удлинение просто как $x$. Тогда наши уравнения принимают вид:

$k_1 \cdot x = m_1 \cdot g$ (1)

$k_2 \cdot x = m_2 \cdot g$ (2)

Из этих уравнений можно выразить коэффициенты жёсткости:

$k_1 = \frac{m_1 \cdot g}{x}$

$k_2 = \frac{m_2 \cdot g}{x}$

Чтобы определить, какая жёсткость больше, сравним правые части выражений. Значения $g$ и $x$ в них одинаковы. Масса первого груза $m_1 = 0.5$ кг, а второго $m_2 = 0.2$ кг. Так как $m_1 > m_2$, то для создания такого же удлинения $x$ к первой пружине нужно приложить большую силу. Это означает, что первая пружина более жёсткая. Следовательно, $k_1 > k_2$.

Чтобы найти, во сколько раз жёсткость первой пружины больше жёсткости второй, найдём их отношение. Для этого разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{k_1 \cdot x}{k_2 \cdot x} = \frac{m_1 \cdot g}{m_2 \cdot g}$

Сокращая одинаковые величины ($x$ и $g$) в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{m_1}{m_2}$

Подставим значения масс:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{0.5 \text{ кг}}{0.2 \text{ кг}} = 2.5$

Ответ: жёсткость первой пружины (к которой подвешен груз 500 г) больше жёсткости второй пружины в 2,5 раза.