Номер 30, страница 339 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

30. На рисунке 235 изображены равные по массе шарики 1 и 2, привязанные к нитям длиной $r$ и $2r$ соответственно и движущиеся по окружностям с одинаковой по модулю скоростью $\vec{v}$. Сравните центростремительные ускорения, с которыми движутся шарики, и силы натяжения нитей.

Рис. 235

Дано:

Массы шариков: $m_1 = m_2 = m$

Длины нитей (радиусы окружностей): $r_1 = r$, $r_2 = 2r$

Скорости шариков: $v_1 = v_2 = v$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения $a_{ц1}$ и $a_{ц2}$.

Сравнить силы натяжения нитей $T_1$ и $T_2$.

Решение:

Сравнение центростремительных ускорений

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, определяется по формуле: $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — линейная скорость тела, а $R$ — радиус окружности.

Найдем центростремительное ускорение для первого шарика: $a_{ц1} = \frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v^2}{r}$

Найдем центростремительное ускорение для второго шарика: $a_{ц2} = \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{v^2}{2r}$

Теперь сравним полученные значения, найдя их отношение: $\frac{a_{ц1}}{a_{ц2}} = \frac{\frac{v^2}{r}}{\frac{v^2}{2r}} = \frac{v^2}{r} \cdot \frac{2r}{v^2} = 2$

Следовательно, $a_{ц1} = 2a_{ц2}$.

Ответ: Центростремительное ускорение первого шарика в 2 раза больше, чем центростремительное ускорение второго шарика.

Сравнение сил натяжения нитей

Согласно второму закону Ньютона, сила, вызывающая центростремительное ускорение (центростремительная сила), равна $F_ц = m \cdot a_ц$. В данном случае роль этой силы выполняет сила натяжения нити $T$. Таким образом, $T = F_ц$.

Найдем силу натяжения нити для первого шарика: $T_1 = m_1 \cdot a_{ц1} = m \cdot \frac{v^2}{r}$

Найдем силу натяжения нити для второго шарика: $T_2 = m_2 \cdot a_{ц2} = m \cdot \frac{v^2}{2r}$

Теперь сравним полученные значения, найдя их отношение: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{m \frac{v^2}{r}}{m \frac{v^2}{2r}} = \frac{\frac{1}{r}}{\frac{1}{2r}} = \frac{1}{r} \cdot \frac{2r}{1} = 2$

Следовательно, $T_1 = 2T_2$.

Ответ: Сила натяжения нити для первого шарика в 2 раза больше, чем сила натяжения нити для второго шарика.