Номер 31, страница 339 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

31. Исходя из формулы $a_{\text{ц. с}} = \frac{v^2}{r}$ для определения центростремительного ускорения при движении по окружности и формулы $g = \frac{g_0R_3^2}{(R_3 + h)^2}$, выведенной вами при решении задачи 25, получите следующую формулу для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ над поверхностью Земли: $v = \sqrt{\frac{g_0R_3^2}{R_3 + h}}$.

Дано:

Формула центростремительного ускорения: $a_{ц.с} = \frac{v^2}{r}$

Формула ускорения свободного падения на высоте $h$: $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Обозначения:

$v$ – первая космическая скорость на высоте $h$

$r$ – радиус орбиты

$R_З$ – радиус Земли

$h$ – высота над поверхностью Земли

$g_0$ – ускорение свободного падения на поверхности Земли (при $h=0$)

Найти:

Получить формулу для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ над поверхностью Земли: $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Решение:

Первая космическая скорость – это скорость, с которой тело должно двигаться по круговой орбите на высоте $h$ над поверхностью Земли. Движение по круговой орбите возможно, когда сила гравитационного притяжения является единственной силой, действующей на тело, и она сообщает ему центростремительное ускорение. Это означает, что ускорение, сообщаемое силой тяжести (ускорение свободного падения $g$), равно центростремительному ускорению $a_{ц.с}$ для тела на орбите.

Запишем это условие в виде равенства:

$a_{ц.с} = g$

Теперь подставим в это равенство выражения для $a_{ц.с}$ и $g$.

Центростремительное ускорение определяется скоростью $v$ и радиусом окружности $r$. В данном случае радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$: $r = R_З + h$.

Подставляя это в формулу для центростремительного ускорения, получаем:

$a_{ц.с} = \frac{v^2}{R_З + h}$

Ускорение свободного падения $g$ на высоте $h$ задано в условии:

$g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Приравняем правые части выражений для $a_{ц.с}$ и $g$:

$\frac{v^2}{R_З + h} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Для того чтобы выразить скорость $v$, сначала найдём $v^2$. Умножим обе части уравнения на $(R_З + h)$:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2} \cdot (R_З + h)$

Сократим общий множитель $(R_З + h)$ в числителе и знаменателе правой части уравнения:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}$

Наконец, чтобы найти саму скорость $v$, извлечём квадратный корень из обеих частей полученного выражения:

$v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Таким образом, требуемая формула для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ получена.

Ответ: Искомая формула $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$ выводится из условия равенства центростремительного ускорения $a_{ц.с} = \frac{v^2}{R_З+h}$ и ускорения свободного падения на высоте орбиты $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$. Из равенства $\frac{v^2}{R_З + h} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$ путём алгебраических преобразований выражается скорость $v$.