Страница 338 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

22. Брусок массой $m = 200 \text{ г}$ движется по горизонтальной поверхности стола под действием силы $F = 2 \text{ Н}$, направленной под углом $60^\circ$ к горизонту (рис. 233). Чему равно ускорение бруска? Трение пренебрежимо мало.

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$F = 2 \text{ Н}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$a$

Решение:

Движение бруска описывается вторым законом Ньютона, согласно которому векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $\sum \vec{F_i} = m\vec{a}$.

На брусок действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности вверх, и внешняя сила $\vec{F}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту. По условию, трение пренебрежимо мало.

Запишем второй закон Ньютона в векторном виде: $m\vec{a} = \vec{F} + \vec{N} + m\vec{g}$

Для решения задачи введем систему координат. Направим ось OX горизонтально вправо, а ось OY – вертикально вверх. Поскольку брусок движется по горизонтальной поверхности, его ускорение $\vec{a}$ направлено вдоль оси OX. Найдем проекции сил на эту ось.

Проекция силы $\vec{F}$ на ось OX: $F_x = F \cos \alpha$.

Силы $\vec{N}$ и $m\vec{g}$ перпендикулярны оси OX, поэтому их проекции на эту ось равны нулю.

Тогда уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось OX примет вид:

$ma = F \cos \alpha$

Выразим из этого уравнения искомое ускорение $a$:

$a = \frac{F \cos \alpha}{m}$

Подставим данные из условия в полученную формулу:

$a = \frac{2 \text{ Н} \cdot \cos 60^\circ}{0.2 \text{ кг}} = \frac{2 \cdot 0.5}{0.2} = \frac{1}{0.2} = 5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение бруска равно $5 \text{ м/с}^2$.

23. Мальчик держит в руках шарик массой 3,87 г и объёмом $3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$. Что произойдёт с этим шариком, если его выпустить из рук?

Дано:

Масса шарика, $m = 3,87 \text{ г}$

Объем шарика, $V = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Плотность воздуха (при нормальных условиях), $\rho_{\text{возд}} \approx 1,29 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$

Перевод в систему СИ:

$m = 3,87 \text{ г} = 3,87 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

Что произойдет с шариком, если его выпустить?

Решение:

Чтобы определить, как поведет себя шарик, когда его выпустят из рук, необходимо сравнить две силы, действующие на него в воздухе: силу тяжести, направленную вниз, и выталкивающую силу (силу Архимеда), направленную вверх. Если сила тяжести больше, шарик будет падать. Если выталкивающая сила больше, шарик будет подниматься. Если силы равны, шарик останется в равновесии.

Способ 1: Сравнение сил

1. Рассчитаем силу тяжести ($F_т$), действующую на шарик:

$F_т = m \cdot g$

$F_т = 3,87 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} \approx 0,0379 \text{ Н}$

2. Рассчитаем выталкивающую силу ($F_А$), действующую на шарик со стороны воздуха:

$F_А = \rho_{\text{возд}} \cdot g \cdot V$

$F_А = 1,29 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \approx 0,0379 \text{ Н}$

3. Сравним полученные значения сил:

$F_т \approx F_А$

Поскольку сила тяжести равна выталкивающей силе, равнодействующая сил, действующих на шарик, равна нулю. Это означает, что шарик будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

Способ 2: Сравнение плотностей

Поведение тела в жидкости или газе зависит от соотношения его средней плотности и плотности среды.

1. Найдем среднюю плотность шарика ($\rho_{\text{шарика}}$):

$\rho_{\text{шарика}} = \frac{m}{V}$

$\rho_{\text{шарика}} = \frac{3,87 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = 1,29 \text{ кг/м}^3$

2. Сравним плотность шарика с плотностью воздуха ($\rho_{\text{возд}}$):

$\rho_{\text{шарика}} = 1,29 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{\text{возд}} \approx 1,29 \text{ кг/м}^3$

Плотность шарика равна плотности воздуха: $\rho_{\text{шарика}} = \rho_{\text{возд}}$.

Это условие плавания тел, при котором тело, полностью погруженное в среду, находится в равновесии в любой точке.

Ответ:

Если выпустить шарик из рук, он останется висеть в воздухе в том месте, где его оставили. Это произойдет потому, что его средняя плотность равна плотности окружающего воздуха, и, следовательно, действующая на него сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда).

24. Стальной шар равномерно катится по горизонтальной поверхности и сталкивается с неподвижным алюминиевым шаром, в результате чего алюминиевый шар получает некоторое ускорение. Может ли при этом модуль ускорения стального шара быть равен нулю; быть больше или меньше ускорения алюминиевого шара? Все ответы обоснуйте.

Рассмотрим взаимодействие двух шаров в момент столкновения. Пусть стальной шар — это тело 1, а алюминиевый — тело 2. Обозначим их массы как $m_{ст}$ и $m_{ал}$, а модули ускорений, которые они получают при столкновении, как $a_{ст}$ и $a_{ал}$ соответственно.

Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми шары действуют друг на друга в момент столкновения, равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим модуль этой силы взаимодействия как $F$. Таким образом, сила, действующая на стальной шар, равна по модулю силе, действующей на алюминиевый шар.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает каждому шару ускорение, обратно пропорциональное его массе. Для стального шара справедливо соотношение $F = m_{ст} \cdot a_{ст}$, а для алюминиевого шара — $F = m_{ал} \cdot a_{ал}$.

Исходя из этих законов, ответим на поставленные вопросы.

Может ли при этом модуль ускорения стального шара быть равен нулю?

В условии задачи сказано, что алюминиевый шар получает некоторое ускорение, следовательно $a_{ал} > 0$. Из второго закона Ньютона для алюминиевого шара ($F = m_{ал} \cdot a_{ал}$) следует, что сила взаимодействия $F$ не равна нулю, так как масса шара $m_{ал}$ и его ускорение $a_{ал}$ не равны нулю. По третьему закону Ньютона на стальной шар действует сила, равная по модулю $F$. Так как эта сила не равна нулю и масса стального шара $m_{ст}$ также не равна нулю, то ускорение стального шара, определяемое из формулы $a_{ст} = \frac{F}{m_{ст}}$, не может быть равно нулю.

Ответ: Нет, модуль ускорения стального шара не может быть равен нулю, так как на него действует ненулевая сила со стороны алюминиевого шара.

Может ли при этом модуль ускорения стального шара быть больше или меньше ускорения алюминиевого шара?

Так как силы, действующие на шары, равны по модулю, мы можем приравнять выражения из второго закона Ньютона для каждого шара: $m_{ст} \cdot a_{ст} = m_{ал} \cdot a_{ал}$.

Из этого равенства можно выразить отношение модулей ускорений: $\frac{a_{ст}}{a_{ал}} = \frac{m_{ал}}{m_{ст}}$.

Для сравнения ускорений необходимо сравнить массы шаров. Плотность стали ($\rho_{ст} \approx 7850$ кг/м³) значительно больше плотности алюминия ($\rho_{ал} \approx 2700$ кг/м³). Если предположить, что шары имеют одинаковый объем $V$ (что является стандартным допущением в таких задачах), то масса стального шара будет больше массы алюминиевого, так как масса вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$. Следовательно, $m_{ст} > m_{ал}$.

Поскольку $m_{ст} > m_{ал}$, то отношение масс $\frac{m_{ал}}{m_{ст}} < 1$. Таким образом, и отношение ускорений $\frac{a_{ст}}{a_{ал}} < 1$, что означает $a_{ст} < a_{ал}$.

Это значит, что модуль ускорения стального шара будет меньше модуля ускорения алюминиевого шара. Следовательно, он не может быть больше.

Ответ: Модуль ускорения стального шара будет меньше модуля ускорения алюминиевого шара. Больше он быть не может.

25. Пусть $M_3$ и $R_3$ — соответственно масса и радиус земного шара, $g_0$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли, а $g$ — на высоте $h$. Исходя из формул $g = \frac{GM_3}{(R_3 + h)^2}$ и $g_0 = \frac{GM_3}{R_3^2}$, выведите формулу: $g = \frac{g_0R_3^2}{(R_3 + h)^2}$.

Дано:

$M_З$ — масса земного шара

$R_З$ — радиус земного шара

$g_0$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли, $g_0 = \frac{GM_З}{R_З^2}$

$g$ — ускорение свободного падения на высоте $h$, $g = \frac{GM_З}{(R_З + h)^2}$

$G$ — гравитационная постоянная

$h$ — высота над поверхностью Земли

Найти:

Вывести формулу $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$.

Решение:

Нам даны две формулы для ускорения свободного падения:

1. На высоте $h$ над поверхностью Земли: $g = \frac{GM_З}{(R_З + h)^2}$

2. На поверхности Земли: $g_0 = \frac{GM_З}{R_З^2}$

Для того чтобы вывести искомую формулу, необходимо связать эти два выражения. Заметим, что в обеих формулах присутствует произведение $GM_З$. Выразим это произведение из второй формулы. Для этого умножим обе части уравнения на $R_З^2$:

$g_0 \cdot R_З^2 = \frac{GM_З}{R_З^2} \cdot R_З^2$

Отсюда получаем:

$GM_З = g_0 R_З^2$

Теперь подставим полученное выражение для $GM_З$ в первую формулу (для ускорения свободного падения на высоте $h$):

$g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Таким образом, мы получили требуемую формулу, которая выражает ускорение свободного падения на высоте $h$ через ускорение свободного падения на поверхности Земли и радиус Земли.

Ответ: Формула $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$ успешно выведена из исходных выражений.

26. Тело массой $m_1 = 100$ г скользит без трения по горизонтальной плоскости под действием груза массой $m_2 = 300$ г, связанного с телом нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 234). С каким ускорением движется тело массой $m_1$?

Рис. 234

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$

Трение отсутствует.

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$a$ - ?

Решение:

Система состоит из двух тел, связанных нерастяжимой и невесомой нитью. Это означает, что оба тела движутся с одинаковым по модулю ускорением $a$. Рассмотрим силы, действующие на каждое тело, и применим второй закон Ньютона.

На тело массой $m_1$, скользящее по горизонтальной плоскости, действуют:

• сила тяжести $m_1g$, направленная вертикально вниз;
• сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх;
• сила натяжения нити $T$, направленная горизонтально.

Поскольку тело движется только в горизонтальном направлении, силы, действующие по вертикали, скомпенсированы ($N = m_1g$). Движение вызывает только сила натяжения нити $T$. Согласно второму закону Ньютона в проекции на горизонтальную ось:

$T = m_1 a$ (1)

На груз массой $m_2$ действуют:

• сила тяжести $m_2g$, направленная вертикально вниз;
• сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх.

Так как нить и блок невесомы и трения в блоке нет, сила натяжения нити $T$ одинакова для обоих тел. Груз $m_2$ движется вниз с ускорением $a$. Запишем второй закон Ньютона для этого тела в проекции на вертикальную ось (направив ее вниз):

$m_2g - T = m_2 a$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($T$ и $a$). Подставим выражение для $T$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$m_2g - m_1a = m_2a$

Перенесем слагаемое с ускорением в правую часть и выразим $a$:

$m_2g = m_1a + m_2a$

$m_2g = (m_1 + m_2)a$

$a = \frac{m_2g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$a = \frac{0.3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.1 \text{ кг} + 0.3 \text{ кг}} = \frac{2.94 \text{ Н}}{0.4 \text{ кг}} = 7.35 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение тела массой $m_1$ равно $7.35 \text{ м/с}^2$.

27. Шайбе, находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, сообщают горизонтальную скорость $v_0 = 3 \text{ м/с}$. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения шайбы о плоскость $\mu = 0,3$?

27. Дано:

Начальная скорость шайбы, $v_0 = 3$ м/с

Коэффициент трения, $\mu = 0,3$

Конечная скорость шайбы, $v = 0$ м/с (так как шайба останавливается)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$ (примем это значение для упрощения расчетов, как это часто делается в школьных задачах).

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Время движения шайбы до остановки, $t$ - ?

Решение:

После того как шайбе сообщили начальную скорость, на нее в горизонтальном направлении действует только одна сила — сила трения скольжения, направленная против движения. Эта сила вызывает замедление шайбы.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = \sum \vec{F}$.

Выберем систему координат: ось OX направим горизонтально по направлению начальной скорости, а ось OY — вертикально вверх.

Рассмотрим силы, действующие на шайбу, и запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

На ось OY: $N - mg = 0$, так как по вертикали шайба не движется, ее ускорение в этой проекции равно нулю. Отсюда следует, что сила нормальной реакции опоры $N$ равна по модулю силе тяжести $mg$: $N = mg$.

На ось OX: $-F_{тр} = ma$. Сила трения $F_{тр}$ направлена против движения (и против оси OX), поэтому ее проекция отрицательна. Ускорение $a$ будет также отрицательным (замедление).

Сила трения скольжения вычисляется по формуле: $F_{тр} = \mu N$.

Подставим в эту формулу выражение для силы нормальной реакции опоры: $F_{тр} = \mu mg$.

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси OX: $-\mu mg = ma$.

Как видим, масса шайбы $m$ сокращается. Это означает, что время остановки не зависит от массы шайбы. Найдем ускорение: $a = -\mu g$.

Движение шайбы является равнозамедленным. Для определения времени до остановки воспользуемся формулой скорости для равноускоренного движения: $v = v_0 + at$.

Поскольку конечная скорость шайбы $v = 0$, а ускорение $a = -\mu g$, подставим эти значения в формулу: $0 = v_0 - \mu g t$.

Отсюда выразим время $t$: $\mu g t = v_0$ $t = \frac{v_0}{\mu g}$.

Осталось подставить числовые значения и рассчитать ответ: $t = \frac{3 \text{ м/с}}{0,3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{3}{3} \text{ с} = 1 \text{ с}$.

Ответ: шайба остановится через 1 с.

28. Имеются две абсолютно упругие пружины. К первой пружине подвешен груз массой 500 г, а ко второй — 200 г. При этом удлинения пружин оказались равными. Жёсткость какой пружины больше? Во сколько раз?

Дано:

Масса первого груза, $m_1 = 500$ г

Масса второго груза, $m_2 = 200$ г

Удлинение первой пружины, $x_1$

Удлинение второй пружины, $x_2$

По условию $x_1 = x_2$

В системе СИ:

$m_1 = 0.5$ кг

$m_2 = 0.2$ кг

Найти:

Жёсткость какой пружины больше? Во сколько раз? (т.е. найти отношение $\frac{k_1}{k_2}$)

Решение:

Когда груз подвешен к пружине и находится в состоянии покоя, сила упругости пружины $F_{упр}$, возникающая в ней, уравновешивает силу тяжести $F_{т}$, действующую на груз.

Сила тяжести вычисляется по формуле $F_т = m \cdot g$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

Сила упругости для абсолютно упругой пружины описывается законом Гука: $F_{упр} = k \cdot x$, где $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — её удлинение (деформация).

Запишем условие равновесия для первой пружины с грузом $m_1$:

$F_{упр1} = F_{т1}$

$k_1 \cdot x_1 = m_1 \cdot g$

Запишем условие равновесия для второй пружины с грузом $m_2$:

$F_{упр2} = F_{т2}$

$k_2 \cdot x_2 = m_2 \cdot g$

По условию задачи удлинения пружин одинаковы, то есть $x_1 = x_2$. Обозначим это равное удлинение просто как $x$. Тогда наши уравнения принимают вид:

$k_1 \cdot x = m_1 \cdot g$ (1)

$k_2 \cdot x = m_2 \cdot g$ (2)

Из этих уравнений можно выразить коэффициенты жёсткости:

$k_1 = \frac{m_1 \cdot g}{x}$

$k_2 = \frac{m_2 \cdot g}{x}$

Чтобы определить, какая жёсткость больше, сравним правые части выражений. Значения $g$ и $x$ в них одинаковы. Масса первого груза $m_1 = 0.5$ кг, а второго $m_2 = 0.2$ кг. Так как $m_1 > m_2$, то для создания такого же удлинения $x$ к первой пружине нужно приложить большую силу. Это означает, что первая пружина более жёсткая. Следовательно, $k_1 > k_2$.

Чтобы найти, во сколько раз жёсткость первой пружины больше жёсткости второй, найдём их отношение. Для этого разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{k_1 \cdot x}{k_2 \cdot x} = \frac{m_1 \cdot g}{m_2 \cdot g}$

Сокращая одинаковые величины ($x$ и $g$) в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{m_1}{m_2}$

Подставим значения масс:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{0.5 \text{ кг}}{0.2 \text{ кг}} = 2.5$

Ответ: жёсткость первой пружины (к которой подвешен груз 500 г) больше жёсткости второй пружины в 2,5 раза.

29. Мальчик стоит на напольных весах в лифте. Куда и с каким ускорением движется лифт, если весы показывают 33 кг? Известно, что в покоящемся лифте весы показывают 30 кг.

Дано:

Масса мальчика в покоящемся лифте (истинная масса), $m = 30$ кг

Показания весов в движущемся лифте (кажущаяся масса), $m_1 = 33$ кг

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Ускорение лифта $a$ и его направление.

Решение:

Вес тела – это сила, с которой тело действует на опору. Напольные весы измеряют силу реакции опоры $N$, которая по третьему закону Ньютона равна весу тела $P$. Показания весов, которые мы видим в килограммах, соответствуют так называемой кажущейся массе, связанной с силой реакции опоры соотношением $N = m_{\text{каж}} \cdot g$.

Когда лифт покоится или движется равномерно, его ускорение равно нулю ($a=0$). На мальчика действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - mg = ma = 0$

Отсюда следует, что $N = mg$. В этом случае весы показывают истинную массу мальчика $m = 30$ кг.

Когда лифт движется с ускорением $a$, направленным вертикально, второй закон Ньютона для мальчика принимает вид:

$N_1 - mg = ma$

Здесь $N_1$ – новая сила реакции опоры. По условию, весы в этом случае показывают массу $m_1 = 33$ кг, значит, сила реакции опоры равна $N_1 = m_1g$. Подставим это в уравнение:

$m_1g - mg = ma$

Поскольку кажущаяся масса $m_1 = 33$ кг больше истинной массы $m = 30$ кг, то сила реакции опоры $N_1$ больше силы тяжести $mg$. Это означает, что равнодействующая сила ($N_1 - mg$) направлена вверх. Согласно второму закону Ньютона ($F=ma$), вектор ускорения $a$ совпадает по направлению с вектором равнодействующей силы. Следовательно, ускорение лифта направлено вертикально вверх.

Теперь найдем модуль этого ускорения. Выразим $a$ из полученного уравнения:

$g(m_1 - m) = ma$

$a = \frac{g(m_1 - m)}{m}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$a = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot (33 \, \text{кг} - 30 \, \text{кг})}{30 \, \text{кг}} = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 3 \, \text{кг}}{30 \, \text{кг}} = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{10} = 0.98 \, \text{м/с}^2$

Ускорение, направленное вверх, может означать, что лифт либо набирает скорость, двигаясь вверх, либо замедляет движение, спускаясь вниз. В обоих случаях вектор ускорения направлен вверх.

Ответ: лифт движется с ускорением $0.98$ м/с², направленным вертикально вверх.