Страница 336 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

10. Приведите формулу $\vec{s} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$ к виду: $\vec{s} = \frac{\vec{v_0} + \vec{v}}{2} \cdot t$.

Решение

Для того чтобы привести формулу перемещения $\vec{s} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$ к виду $\vec{s} = \frac{\vec{v_0} + \vec{v}}{2} \cdot t$, необходимо использовать определение вектора конечной скорости при равноускоренном движении: $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$.

Начнем с исходной формулы для перемещения. Выполним алгебраические преобразования. Вынесем за скобки множитель $\frac{t}{2}$:

$\vec{s} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2} = (2\vec{v_0} + \vec{a}t) \frac{t}{2}$

Далее, представим $2\vec{v_0}$ в виде суммы $\vec{v_0} + \vec{v_0}$:

$\vec{s} = (\vec{v_0} + \vec{v_0} + \vec{a}t) \frac{t}{2}$

В выражении в скобках сгруппируем слагаемые. Комбинация $\vec{v_0} + \vec{a}t$ представляет собой формулу для конечной скорости $\vec{v}$. Произведем замену:

$\vec{s} = (\vec{v_0} + \vec{v}) \frac{t}{2}$

Запишем полученное выражение в требуемом виде:

$\vec{s} = \frac{\vec{v_0} + \vec{v}}{2} \cdot t$

Таким образом, преобразование успешно завершено.

Ответ: Исходная формула $\vec{s} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$ приведена к виду $\vec{s} = \frac{\vec{v_0} + \vec{v}}{2} \cdot t$ с использованием определения конечной скорости $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$.

11. Исходя из того, что $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$ и $a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}$, выведите формулу $a_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2s_x}$.

Для того чтобы вывести формулу $a_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2s_x}$, необходимо использовать две данные формулы и исключить из них время $t$.

Дано:

Уравнение проекции перемещения при равноускоренном движении:

$s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Уравнение проекции ускорения:

$a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}$

Найти:

Вывести формулу для проекции ускорения $a_x$, не содержащую время $t$.

Решение:

1. Выразим время $t$ из формулы для ускорения:

$a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t} \implies t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$

2. Подставим полученное выражение для $t$ в формулу для перемещения $s_x$:

$s_x = v_{0x} \left( \frac{v_x - v_{0x}}{a_x} \right) + \frac{a_x}{2} \left( \frac{v_x - v_{0x}}{a_x} \right)^2$

3. Выполним алгебраические преобразования. Раскроем скобки:

$s_x = \frac{v_{0x}v_x - v_{0x}^2}{a_x} + \frac{a_x}{2} \frac{(v_x - v_{0x})^2}{a_x^2}$

4. Сократим $a_x$ во втором слагаемом и раскроем квадрат разности $(v_x - v_{0x})^2 = v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2$:

$s_x = \frac{v_{0x}v_x - v_{0x}^2}{a_x} + \frac{v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2}{2a_x}$

5. Приведем дроби к общему знаменателю $2a_x$:

$s_x = \frac{2(v_{0x}v_x - v_{0x}^2)}{2a_x} + \frac{v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2}{2a_x}$

6. Сложим числители дробей:

$s_x = \frac{2v_{0x}v_x - 2v_{0x}^2 + v_x^2 - 2v_x v_{0x} + v_{0x}^2}{2a_x}$

7. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

8. Из полученного соотношения выразим проекцию ускорения $a_x$:

$2a_x s_x = v_x^2 - v_{0x}^2$

$a_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2s_x}$

Таким образом, искомая формула выведена.

Ответ: $a_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2s_x}$

12. На рисунке 31 показаны положения шарика через каждую 0,1 с его равноускоренного падения из состояния покоя. Пользуясь рисунком, определите среднюю скорость шарика за первые 0,3 с от начала движения и его мгновенную скорость, которую он приобрёл к концу этого же промежутка времени.

Дано:

Движение: равноускоренное падение

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Промежуток времени: $t = 0,3$ с

Найти:

Средняя скорость за 0,3 с ($v_{ср}$) - ?

Мгновенная скорость в момент времени 0,3 с ($v$) - ?

Решение:

В задаче указано, что нужно пользоваться рисунком 31, который не предоставлен. Однако, зная, что падение является равноускоренным и происходит из состояния покоя, мы можем решить задачу, используя стандартные формулы кинематики. Для равноускоренного падения ускорение $a$ равно ускорению свободного падения $g$. Для упрощения расчетов примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, что является стандартным допущением для школьных задач.

Средняя скорость шарика за первые 0,3 с от начала движения

Средняя путевая скорость $v_{ср}$ определяется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени движения $t$: $v_{ср} = \frac{S}{t}$

Путь $S$ при равноускоренном движении без начальной скорости вычисляется по формуле: $S = \frac{at^2}{2}$

Подставим наши значения ($a = g \approx 10 \text{ м/с}^2$, $t = 0,3$ с): $S = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (0,3 \text{ с})^2}{2} = \frac{10 \cdot 0,09}{2} = \frac{0,9}{2} = 0,45$ м.

Теперь, зная путь и время, найдем среднюю скорость: $v_{ср} = \frac{0,45 \text{ м}}{0,3 \text{ с}} = 1,5$ м/с.

Ответ: средняя скорость шарика за первые 0,3 с от начала движения равна 1,5 м/с.

Мгновенная скорость, которую он приобрёл к концу этого же промежутка времени

Мгновенная скорость $v$ при равноускоренном движении без начальной скорости вычисляется по формуле: $v = at$

Подставим значения в формулу, чтобы найти скорость в момент времени $t = 0,3$ с: $v = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,3 \text{ с} = 3$ м/с.

Для проверки можно использовать формулу, связывающую среднюю и конечную скорости при равноускоренном движении из состояния покоя: $v_{ср} = \frac{v_0 + v}{2}$. Поскольку $v_0 = 0$, то $v_{ср} = \frac{v}{2}$, откуда $v = 2 \cdot v_{ср}$. $v = 2 \cdot 1,5 \text{ м/с} = 3$ м/с.

Результаты совпадают, что подтверждает верность расчетов.

Ответ: мгновенная скорость, которую шарик приобрёл к концу 0,3 с, равна 3 м/с.

13. Два лифта — обычный и скоростной — одновременно приходят в движение и в течение одного и того же промежутка времени движутся равноускоренно. Во сколько раз путь, который пройдёт за это время скоростной лифт, больше пути, пройденного обычным лифтом, если его ускорение в 3 раза превышает ускорение обычного лифта? Во сколько раз большую скорость по сравнению с обычным лифтом приобретёт скоростной лифт к концу этого промежутка времени?

Дано:

Обозначим параметры обычного лифта индексом «о», а скоростного — индексом «с».

Начальные скорости обоих лифтов равны нулю, так как они начинают движение: $v_{0о} = 0$, $v_{0с} = 0$.

Время движения одинаково: $t_о = t_с = t$.

Ускорение скоростного лифта в 3 раза превышает ускорение обычного: $a_с = 3a_о$.

Найти:

Отношение путей: $\frac{S_с}{S_о}$ — ?

Отношение конечных скоростей: $\frac{v_с}{v_о}$ — ?

Решение:

Во сколько раз путь, который пройдёт за это время скоростной лифт, больше пути, пройденного обычным лифтом?

Путь при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью определяется формулой: $S = \frac{at^2}{2}$.

Запишем это выражение для каждого лифта:

Путь обычного лифта: $S_о = \frac{a_о t^2}{2}$.

Путь скоростного лифта: $S_с = \frac{a_с t^2}{2}$.

Для нахождения искомого отношения разделим путь скоростного лифта на путь обычного: $\frac{S_с}{S_о} = \frac{\frac{a_с t^2}{2}}{\frac{a_о t^2}{2}} = \frac{a_с}{a_о}$.

Используя данные из условия, что $a_с = 3a_о$, получаем: $\frac{S_с}{S_о} = \frac{3a_о}{a_о} = 3$.

Ответ: путь, пройденный скоростным лифтом, в 3 раза больше пути, пройденного обычным лифтом.

Во сколько раз большую скорость по сравнению с обычным лифтом приобретёт скоростной лифт к концу этого промежутка времени?

Конечная скорость при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью определяется формулой: $v = at$.

Запишем это выражение для каждого лифта:

Конечная скорость обычного лифта: $v_о = a_о t$.

Конечная скорость скоростного лифта: $v_с = a_с t$.

Для нахождения искомого отношения разделим конечную скорость скоростного лифта на конечную скорость обычного: $\frac{v_с}{v_о} = \frac{a_с t}{a_о t} = \frac{a_с}{a_о}$.

Подставляя соотношение ускорений $a_с = 3a_о$, получаем: $\frac{v_с}{v_о} = \frac{3a_о}{a_о} = 3$.

Ответ: скоростной лифт приобретёт скорость в 3 раза большую по сравнению с обычным лифтом.

14. На рисунке 231 представлен график зависимости проекции скорости лифта при разгоне от времени. Перечертите этот график в тетрадь и в тех же координатных осях постройте аналогичный график для скоростного лифта, ускорение которого в 3 раза больше, чем обычного.

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_{x1}(t)$ для обычного лифта.

Ускорение скоростного лифта $a_2$ в 3 раза больше ускорения обычного лифта $a_1$: $a_2 = 3 \cdot a_1$.

Найти:

Построить график зависимости проекции скорости от времени $v_{x2}(t)$ для скоростного лифта в тех же координатных осях.

Решение:

Представленный на рисунке график $v_x(t)$ для обычного лифта является прямой линией, проходящей через начало координат. Это означает, что лифт движется из состояния покоя ($v_{0x} = 0$) с постоянным ускорением ($a_x = \text{const}$). Уравнение скорости для такого движения имеет вид: $v_x(t) = a_x t$.

Ускорение $a_x$ численно равно тангенсу угла наклона графика к оси времени $t$, то есть отношению изменения проекции скорости $\Delta v_x$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$

1. Определим ускорение обычного лифта ($a_1$). Для этого выберем на его графике точку. Удобно взять точку, отмеченную на рисунке, которая соответствует 4 единицам (клеткам) по оси времени и 2 единицам по оси скорости.

$a_1 = \frac{2 \text{ ед.}}{4 \text{ ед.}} = 0.5 \text{ условных единиц ускорения}$

2. По условию задачи, ускорение скоростного лифта ($a_2$) в 3 раза больше:

$a_2 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 0.5 = 1.5 \text{ условных единиц ускорения}$

3. Так как скоростной лифт также начинает разгон, его движение описывается аналогичным уравнением $v_{x2}(t) = a_2 t$. График этой зависимости — прямая линия, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом, равным $a_2 = 1.5$.

4. Для построения нового графика найдем одну точку, принадлежащую ему. Возьмем тот же момент времени, что и для первого лифта, $t = 4$ ед., и вычислим соответствующую скорость:

$v_{x2} = a_2 \cdot t = 1.5 \cdot 4 = 6 \text{ ед.}$

Следовательно, график для скоростного лифта — это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и точку с координатами (4 ед., 6 ед.).

Ответ:

График зависимости проекции скорости от времени для скоростного лифта — это прямая линия, которая, как и для обычного лифта, начинается в начале координат, но идет круче. Если график для обычного лифта проходит через точку (4 клетки по горизонтали, 2 клетки по вертикали), то новый график для скоростного лифта будет проходить через точку (4 клетки по горизонтали, 6 клеток по вертикали).

На рисунке ниже синей линией показан исходный график для обычного лифта, а красной — построенный график для скоростного лифта.

15. Автомобиль движется прямолинейно вдоль оси X. Уравнение зависимости проекции вектора скорости автомобиля от времени выглядит так: $v_x = 10 + 0,5t$ (м/с). Определите модуль и направление начальной скорости и ускорения автомобиля. Как меняется модуль вектора скорости автомобиля?

Дано:

Уравнение зависимости проекции скорости от времени: $v_x = 10 + 0,5t$ (м/с).

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$|v_0|$ и направление $\vec{v_0}$ — ?

$|a|$ и направление $\vec{a}$ — ?

Характер изменения модуля скорости — ?

Решение:

Общий вид уравнения зависимости проекции скорости от времени для равноускоренного прямолинейного движения: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$,

где $v_{0x}$ — проекция начальной скорости на ось X, $a_x$ — проекция ускорения на ось X.

Сравним данное в условии уравнение $v_x = 10 + 0,5t$ с общей формулой.

Определите модуль и направление начальной скорости и ускорения автомобиля

Из сравнения уравнений $v_x = 10 + 0,5t$ и $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$ следует, что:

1. Проекция начальной скорости $v_{0x} = 10$ м/с. Поскольку проекция положительна ($v_{0x} > 0$), начальная скорость направлена в положительном направлении оси X. Модуль начальной скорости равен значению проекции: $|v_0| = 10$ м/с.

2. Проекция ускорения $a_x = 0,5$ м/с². Поскольку проекция ускорения положительна ($a_x > 0$), вектор ускорения направлен в положительном направлении оси X. Модуль ускорения равен значению проекции: $|a| = 0,5$ м/с².

Ответ: Модуль начальной скорости равен $10$ м/с, направление совпадает с положительным направлением оси X. Модуль ускорения равен $0,5$ м/с², направление совпадает с положительным направлением оси X.

Как меняется модуль вектора скорости автомобиля?

Так как проекции начальной скорости и ускорения на ось X имеют одинаковые знаки ($v_{0x} > 0$ и $a_x > 0$), векторы начальной скорости $\vec{v_0}$ и ускорения $\vec{a}$ сонаправлены. Это означает, что движение является равноускоренным.

При равноускоренном движении, когда скорость и ускорение направлены в одну сторону, модуль скорости со временем линейно увеличивается. Это также видно из самого уравнения $v_x = 10 + 0,5t$: при увеличении времени $t$ (где $t \ge 0$), значение скорости $v_x$ будет монотонно возрастать.

Ответ: Модуль вектора скорости автомобиля увеличивается со временем.

16. От удара клюшкой шайба приобрела начальную скорость $5 \text{ м/с}$ и стала скользить по льду с ускорением $1 \text{ м/с}^2$. Запишите уравнение зависимости проекции вектора скорости шайбы от времени и постройте соответствующий этому уравнению график.

Дано:

Начальная скорость шайбы, $v_0 = 5 \text{ м/с}$

Ускорение шайбы, $a = 1 \text{ м/с}^2$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

1. Уравнение зависимости проекции вектора скорости от времени $v_x(t)$.

2. График зависимости $v_x(t)$.

Решение:

Движение шайбы после удара является прямолинейным равнозамедленным, так как на нее действует сила трения, направленная против начальной скорости. Это означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору начальной скорости.

Выберем систему отсчета, в которой ось $Ox$ совпадает с направлением начальной скорости шайбы. Тогда проекция начальной скорости на эту ось будет положительной: $v_{0x} = v_0 = 5 \text{ м/с}$.

Поскольку ускорение направлено против движения, его проекция на ось $Ox$ будет отрицательной: $a_x = -a = -1 \text{ м/с}^2$.

Общая формула для проекции скорости при равноускоренном движении имеет вид:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Подставим наши значения в эту формулу:

$v_x(t) = 5 + (-1) \cdot t$

Таким образом, искомое уравнение зависимости проекции скорости от времени:

$v_x(t) = 5 - t$ (где скорость $v_x$ измеряется в м/с, а время $t$ в секундах).

Для построения графика этой зависимости, заметим, что это линейная функция вида $y = kx + b$. Графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.

1. Найдем начальную скорость при $t=0$:

$v_x(0) = 5 - 0 = 5 \text{ м/с}$. Первая точка имеет координаты $(0; 5)$.

2. Найдем момент времени, когда шайба остановится ($v_x = 0$):

$0 = 5 - t \implies t = 5 \text{ с}$. Вторая точка имеет координаты $(5; 0)$.

Соединим эти две точки на координатной плоскости $v_x(t)$. Движение происходит в интервале времени от $t=0$ до $t=5$ с.

Ниже представлен график этой зависимости.

Ответ:

Уравнение зависимости проекции скорости от времени: $v_x(t) = 5 - t$. График зависимости представлен выше.