Страница 341 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

47. Увеличили или уменьшили длину маятника, если:

а) период его колебаний сначала был 0,3 с, а после изменения длины стал 0,1 с;

б) частота его колебаний вначале была равна 5 Гц, а потом уменьшилась до 3 Гц?

а)

Дано:

Начальный период колебаний $T_1 = 0,3$ с

Конечный период колебаний $T_2 = 0,1$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Определить, увеличили или уменьшили длину маятника $l$.

Решение:

Период колебаний математического маятника $T$ связан с его длиной $l$ по формуле: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$, где $g$ — ускорение свободного падения. Из этой формулы следует, что период колебаний прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника ($T \propto \sqrt{l}$). Это означает, что с увеличением длины маятника его период также увеличивается, а с уменьшением длины — уменьшается.

В условии задачи начальный период $T_1 = 0,3$ с, а конечный $T_2 = 0,1$ с. Сравнивая эти значения, мы видим, что $T_2 < T_1$, то есть период колебаний маятника уменьшился.

Поскольку существует прямая зависимость между периодом и длиной, уменьшение периода означает, что длину маятника также уменьшили. Для проверки можно найти отношение конечной длины $l_2$ к начальной $l_1$, выразив длину из формулы периода: $l = g \frac{T^2}{4\pi^2}$.

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{g T_2^2 / 4\pi^2}{g T_1^2 / 4\pi^2} = (\frac{T_2}{T_1})^2 = (\frac{0,1 \text{ с}}{0,3 \text{ с}})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Так как $l_2 = \frac{1}{9}l_1$, конечная длина в 9 раз меньше начальной.

Ответ: Длину маятника уменьшили.

б)

Дано:

Начальная частота колебаний $\nu_1 = 5$ Гц

Конечная частота колебаний $\nu_2 = 3$ Гц

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Определить, увеличили или уменьшили длину маятника $l$.

Решение:

Частота колебаний $\nu$ и период колебаний $T$ связаны обратной зависимостью: $\nu = \frac{1}{T}$. Формула периода для математического маятника: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

Подставим выражение для периода в формулу частоты: $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$. Из этой формулы видно, что частота колебаний $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из длины маятника ($ \nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$). Это означает, что с увеличением длины маятника его частота уменьшается, а с уменьшением длины — увеличивается.

В условии задачи начальная частота $\nu_1 = 5$ Гц, а конечная $\nu_2 = 3$ Гц. Сравнивая эти значения, мы видим, что $\nu_2 < \nu_1$, то есть частота колебаний маятника уменьшилась.

Поскольку существует обратная зависимость между частотой и длиной, уменьшение частоты означает, что длину маятника увеличили. Для проверки можно найти отношение конечной длины $l_2$ к начальной $l_1$, выразив длину из формулы частоты: $l = \frac{g}{4\pi^2 \nu^2}$.

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{g / (4\pi^2 \nu_2^2)}{g / (4\pi^2 \nu_1^2)} = \frac{\nu_1^2}{\nu_2^2} = (\frac{\nu_1}{\nu_2})^2 = (\frac{5 \text{ Гц}}{3 \text{ Гц}})^2 = \frac{25}{9}$

Так как $l_2 = \frac{25}{9}l_1$, конечная длина больше начальной примерно в 2,8 раза.

Ответ: Длину маятника увеличили.

48. Как изменится период колебаний маятника при увеличении длины его нити в 4 раза? Из пяти приведённых ниже утверждений выберите верное.

1) увеличится в 4 раза

2) уменьшится в 4 раза

3) увеличится в 2 раза

4) уменьшится в 2 раза

5) увеличится в 16 раз

Дано:

Начальная длина нити маятника: $l_1$

Конечная длина нити маятника: $l_2 = 4l_1$

Найти:

Как изменится период колебаний маятника, то есть найти отношение конечного периода $T_2$ к начальному $T_1$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ — длина нити маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулу для начального периода колебаний $T_1$ с длиной нити $l_1$: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

Запишем формулу для конечного периода колебаний $T_2$ с длиной нити $l_2$: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

По условию задачи, длина нити увеличилась в 4 раза, то есть $l_2 = 4l_1$. Подставим это значение в формулу для $T_2$: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{4l_1}{g}}$

Вынесем множитель 4 из-под корня: $T_2 = 2\pi\sqrt{4}\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}\right)$

Заметим, что выражение в скобках является формулой для начального периода $T_1$. Таким образом, получаем: $T_2 = 2 \cdot T_1$

Это означает, что период колебаний маятника увеличится в 2 раза. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 3.

Ответ: увеличится в 2 раза.

49. Как добиться звучания одного из двух одинаковых камертонов на резонаторных ящиках, не дотрагиваясь до него? Как при этом следует расположить отверстия резонаторных ящиков по отношению друг к другу? Ответы поясните.

Какое физическое явление лежит в основе данного опыта?

Как добиться звучания одного из двух одинаковых камертонов на резонаторных ящиках, не дотрагиваясь до него? Как при этом следует расположить отверстия резонаторных ящиков по отношению друг к другу? Ответы поясните.

Чтобы заставить второй камертон звучать, не дотрагиваясь до него, необходимо ударить по первому камертону (например, резиновым молоточком). Он начнет совершать колебания со своей собственной частотой и создаст в окружающем пространстве звуковые волны. Эти волны, распространяясь по воздуху, достигнут второго камертона.

Поскольку оба камертона одинаковы, их собственные частоты колебаний совпадают. Когда частота внешней периодической силы (звуковой волны) совпадает с собственной частотой колебательной системы (второго камертона), возникает явление резонанса. Резонанс проявляется в резком увеличении амплитуды вынужденных колебаний. В результате второй камертон тоже начинает интенсивно колебаться и издавать звук.

Для того чтобы эффект был наиболее заметным, отверстия резонаторных ящиков следует расположить так, чтобы они были направлены друг на друга. Это обеспечивает наиболее эффективную передачу звуковой энергии от первого камертона ко второму, так как резонатор не только усиливает звук, но и направляет его.

Ответ:Нужно возбудить колебания в одном из камертонов. Он станет источником звуковой волны, которая, в свою очередь, вызовет резонансные колебания во втором таком же камертоне, и тот тоже зазвучит. Для максимального эффекта отверстия резонаторных ящиков следует направить друг на друга.

Какое физическое явление лежит в основе данного опыта?

В основе данного опыта лежит физическое явление акустического резонанса. Это разновидность резонанса, при которой резкое возрастание амплитуды колебаний системы происходит под действием звуковых волн, частота которых совпадает с собственной частотой колебаний этой системы.

Ответ:В основе опыта лежит явление акустического резонанса.

50. Качели периодически подталкивают рукой, т. е. действуют на них вынуждающей силой. На рисунке 237 приведён график зависимости амплитуды установившихся колебаний качелей от частоты вынуждающей силы. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы.

a) При какой частоте воздействия на качели — 1 Гц или 3 Гц — амплитуда их установившихся колебаний будет больше?

б) С какой частотой надо подталкивать качели, чтобы амплитуда их установившихся колебаний достигла наибольшего значения?

в) Чему равна собственная частота качелей? На основании какого физического закона вы определили собственную частоту?

Рис. 237

Дано:

График зависимости амплитуды установившихся колебаний качелей $A$ от частоты вынуждающей силы $ν$ (Рис. 237).

Найти:

а) При какой частоте, $ν_1 = 1 \text{ Гц}$ или $ν_2 = 3 \text{ Гц}$, амплитуда $A$ больше?

б) Частоту $ν_{max}$, при которой амплитуда $A$ достигает наибольшего значения.

в) Собственную частоту качелей $ν_0$ и физический закон для её определения.

Решение:

На рисунке представлен график зависимости амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты внешней (вынуждающей) силы. Такой график называется резонансной кривой.

а) Чтобы определить, при какой частоте амплитуда больше, найдём значения амплитуд для заданных частот по графику.

При частоте $ν_1 = 1 \text{ Гц}$ амплитуда колебаний, согласно графику, составляет $A_1 = 0,3 \text{ м}$.

При частоте $ν_2 = 3 \text{ Гц}$ амплитуда колебаний, согласно графику, составляет $A_2 = 0,3 \text{ м}$.

Так как $A_1 = A_2$, амплитуды колебаний при этих частотах одинаковы.

Ответ: Амплитуды колебаний при частотах 1 Гц и 3 Гц одинаковы и равны 0,3 м.

б) Чтобы найти частоту, при которой амплитуда колебаний достигает наибольшего значения, необходимо найти на графике точку максимума (вершину кривой) и определить соответствующее ей значение частоты на горизонтальной оси.

Из графика видно, что пик амплитуды приходится на частоту $ν = 2 \text{ Гц}$. Максимальное значение амплитуды при этом составляет $A_{max} = 0,6 \text{ м}$.

Ответ: Чтобы амплитуда установившихся колебаний достигла наибольшего значения, качели надо подталкивать с частотой 2 Гц.

в) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы называется резонансом. Частота, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной частотой.

Из графика видно, что резонанс (максимальная амплитуда) наступает при частоте вынуждающей силы $ν_{рез} = 2 \text{ Гц}$.

Согласно определению резонанса, резонансная частота равна собственной частоте колебательной системы: $ν_0 = ν_{рез}$.

Следовательно, собственная частота качелей равна 2 Гц.

Ответ: Собственная частота качелей равна 2 Гц. Она определена на основании явления механического резонанса, согласно которому амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы.

51. На рисунке 238 изображён проводник AB длиной 10 см и массой 2 г, помещённый в однородное магнитное поле индукцией $4 \cdot 10^{-2}$ Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции. По проводнику протекает электрический ток (подводимый по тонким проводам, на которых подвешен данный проводник). Какой должна быть сила тока, чтобы сила тяжести, действующая на проводник AB, уравновешивалась силой действия магнитного поля на ток?

Рис. 238

Дано:

l = 10 см = 0.1 м

m = 2 г = 0.002 кг

B = 4 · 10^-2 Тл

α = 90°

g ≈ 9.8 Н/кг

Найти:

I - ?

Решение:

На проводник AB в магнитном поле действуют две основные силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз, и сила Ампера $F_А$, действующая со стороны магнитного поля.

Сила тяжести, действующая на проводник, рассчитывается по формуле:

$F_т = m \cdot g$

Сила Ампера, действующая на прямолинейный проводник с током в однородном магнитном поле, определяется по формуле:

$F_А = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\alpha)$

где $I$ — сила тока в проводнике, $B$ — индукция магнитного поля, $l$ — длина активной части проводника, находящейся в поле, а $\alpha$ — угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

По условию задачи, сила тяжести, действующая на проводник, уравновешивается силой действия магнитного поля (силой Ампера). Это означает, что силы равны по модулю и противоположны по направлению. Для этого сила Ампера должна быть направлена вертикально вверх.

Приравняем модули этих сил:

$F_А = F_т$

Подставим выражения для сил в это равенство:

$I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\alpha) = m \cdot g$

Из этого уравнения выразим искомую силу тока $I$:

$I = \frac{m \cdot g}{B \cdot l \cdot \sin(\alpha)}$

В условии сказано, что проводник размещен перпендикулярно линиям магнитной индукции, следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$, а его синус $\sin(90^\circ) = 1$.

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$I = \frac{0.002 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг}}{4 \cdot 10^{-2} \text{ Тл} \cdot 0.1 \text{ м} \cdot 1} = \frac{0.0196 \text{ Н}}{0.004 \text{ Тл} \cdot \text{м}} = 4.9 \text{ А}$

Ответ: сила тока должна быть равна 4,9 А.