Номер 47, страница 341 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

47. Увеличили или уменьшили длину маятника, если:

а) период его колебаний сначала был 0,3 с, а после изменения длины стал 0,1 с;

б) частота его колебаний вначале была равна 5 Гц, а потом уменьшилась до 3 Гц?

а)

Дано:

Начальный период колебаний $T_1 = 0,3$ с

Конечный период колебаний $T_2 = 0,1$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Определить, увеличили или уменьшили длину маятника $l$.

Решение:

Период колебаний математического маятника $T$ связан с его длиной $l$ по формуле: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$, где $g$ — ускорение свободного падения. Из этой формулы следует, что период колебаний прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника ($T \propto \sqrt{l}$). Это означает, что с увеличением длины маятника его период также увеличивается, а с уменьшением длины — уменьшается.

В условии задачи начальный период $T_1 = 0,3$ с, а конечный $T_2 = 0,1$ с. Сравнивая эти значения, мы видим, что $T_2 < T_1$, то есть период колебаний маятника уменьшился.

Поскольку существует прямая зависимость между периодом и длиной, уменьшение периода означает, что длину маятника также уменьшили. Для проверки можно найти отношение конечной длины $l_2$ к начальной $l_1$, выразив длину из формулы периода: $l = g \frac{T^2}{4\pi^2}$.

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{g T_2^2 / 4\pi^2}{g T_1^2 / 4\pi^2} = (\frac{T_2}{T_1})^2 = (\frac{0,1 \text{ с}}{0,3 \text{ с}})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Так как $l_2 = \frac{1}{9}l_1$, конечная длина в 9 раз меньше начальной.

Ответ: Длину маятника уменьшили.

б)

Дано:

Начальная частота колебаний $\nu_1 = 5$ Гц

Конечная частота колебаний $\nu_2 = 3$ Гц

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Определить, увеличили или уменьшили длину маятника $l$.

Решение:

Частота колебаний $\nu$ и период колебаний $T$ связаны обратной зависимостью: $\nu = \frac{1}{T}$. Формула периода для математического маятника: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

Подставим выражение для периода в формулу частоты: $\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$. Из этой формулы видно, что частота колебаний $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из длины маятника ($ \nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$). Это означает, что с увеличением длины маятника его частота уменьшается, а с уменьшением длины — увеличивается.

В условии задачи начальная частота $\nu_1 = 5$ Гц, а конечная $\nu_2 = 3$ Гц. Сравнивая эти значения, мы видим, что $\nu_2 < \nu_1$, то есть частота колебаний маятника уменьшилась.

Поскольку существует обратная зависимость между частотой и длиной, уменьшение частоты означает, что длину маятника увеличили. Для проверки можно найти отношение конечной длины $l_2$ к начальной $l_1$, выразив длину из формулы частоты: $l = \frac{g}{4\pi^2 \nu^2}$.

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{g / (4\pi^2 \nu_2^2)}{g / (4\pi^2 \nu_1^2)} = \frac{\nu_1^2}{\nu_2^2} = (\frac{\nu_1}{\nu_2})^2 = (\frac{5 \text{ Гц}}{3 \text{ Гц}})^2 = \frac{25}{9}$

Так как $l_2 = \frac{25}{9}l_1$, конечная длина больше начальной примерно в 2,8 раза.

Ответ: Длину маятника увеличили.