Номер 44, страница 340 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

44. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 30 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной? За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии принять поверхность земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная высота тела $H = 30$ м

Начальная скорость тела $v_0 = 0$ м/с

Условие для искомой высоты: $E_k = \frac{1}{2} E_p$

За нулевой уровень потенциальной энергии принята поверхность земли.

Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Найти:

Высоту $h$, на которой выполняется заданное условие.

Решение:

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, для тела выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $E$ тела в любой точке траектории остается постоянной и равной сумме его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:

$E = E_k + E_p = \text{const}$

В начальный момент времени тело находится на максимальной высоте $H$ и его скорость $v_0 = 0$.

Начальная кинетическая энергия тела равна нулю:

$E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2} = 0$

Начальная потенциальная энергия тела относительно поверхности земли:

$E_{p0} = mgH$

Таким образом, полная механическая энергия тела в любой момент движения равна его начальной энергии:

$E = E_{k0} + E_{p0} = 0 + mgH = mgH$

Теперь рассмотрим момент, когда тело находится на искомой высоте $h$. В этой точке его потенциальная энергия равна $E_p = mgh$, а кинетическая энергия - $E_k$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в этой точке равна начальной полной энергии:

$E_k + E_p = mgH$

По условию задачи, на высоте $h$ кинетическая энергия вдвое меньше потенциальной:

$E_k = \frac{1}{2}E_p$

Подставим это соотношение в уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{1}{2}E_p + E_p = mgH$

$\frac{3}{2}E_p = mgH$

Теперь заменим $E_p$ на ее выражение через высоту $h$ ($E_p = mgh$):

$\frac{3}{2}(mgh) = mgH$

Сократим обе части уравнения на $mg$ (масса тела и ускорение свободного падения не равны нулю):

$\frac{3}{2}h = H$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$:

$h = \frac{2}{3}H$

Подставим числовое значение начальной высоты $H = 30$ м:

$h = \frac{2}{3} \cdot 30 \text{ м} = 2 \cdot 10 \text{ м} = 20 \text{ м}$

Ответ: на высоте 20 м кинетическая энергия тела будет вдвое меньше его потенциальной энергии.