Номер 46, страница 340 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

46. Струна арфы совершает гармонические колебания с частотой 40 Гц. Постройте график зависимости $x(t)$ для средней точки струны, амплитуда колебаний которой равна 3 мм.

Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны; для средних точек других струн арфы? Почему?

Постройте график зависимости x(t) для средней точки струны, амплитуда колебаний которой равна 3 мм.

Дано:

Частота колебаний, $f = 40$ Гц

Амплитуда колебаний, $A = 3$ мм

Перевод в СИ:

Амплитуда колебаний, $A = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.003 \text{ м}$

Найти:

График зависимости $x(t)$

Решение:

Гармонические колебания описываются уравнением вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $x$ — смещение точки от положения равновесия, $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Для простоты примем, что в начальный момент времени ($t=0$) струна имела максимальное отклонение, то есть начальная фаза $\phi_0=0$. Тогда уравнение колебаний примет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

Найдем циклическую частоту $\omega$ через заданную частоту $f$:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 40 \text{ Гц} = 80\pi \text{ рад/с}$

Теперь можем записать уравнение движения для средней точки струны в СИ:

$x(t) = 0.003 \cos(80\pi t)$ (в метрах)

Или, используя миллиметры для наглядности на графике:

$x(t) = 3 \cos(80\pi t)$ (в миллиметрах)

Для построения графика найдем период колебаний $T$:

$T = 1/f = 1/40 \text{ Гц} = 0.025 \text{ с}$

График представляет собой косинусоиду. Ключевые точки для одного периода:

• При $t=0$, $x = 3 \cos(0) = 3$ мм (максимальное отклонение).
• При $t=T/4 = 0.00625$ с, $x = 3 \cos(\pi/2) = 0$ мм (положение равновесия).
• При $t=T/2 = 0.0125$ с, $x = 3 \cos(\pi) = -3$ мм (максимальное отклонение в другую сторону).
• При $t=3T/4 = 0.01875$ с, $x = 3 \cos(3\pi/2) = 0$ мм (положение равновесия).
• При $t=T = 0.025$ с, $x = 3 \cos(2\pi) = 3$ мм (возврат в начальную точку).

График зависимости $x(t)$:

Ответ: Уравнение движения средней точки струны $x(t) = 3 \cos(80\pi t)$, где $x$ в миллиметрах и $t$ в секундах. График этой зависимости — косинусоида с амплитудой 3 мм и периодом 0.025 с, начинающаяся с максимального отклонения в момент $t=0$.

Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны? Почему?

Нет, в общем случае построенный график не годится для других точек той же струны. Все точки струны (кроме неподвижных концов) колеблются с одинаковой частотой ($40$ Гц) и, следовательно, с одинаковым периодом ($0.025$ с). Однако амплитуда их колебаний различна. Максимальная амплитуда наблюдается в середине струны (в пучности стоячей волны). По мере приближения к закрепленным концам струны (узлам стоячей волны) амплитуда колебаний уменьшается до нуля. Таким образом, для других точек струны график будет иметь ту же форму и период, но другую (меньшую) амплитуду.

Ответ: Нет, не годится, так как у других точек той же струны будет другая амплитуда колебаний, хотя частота и период останутся теми же.

Годится ли построенный вами график для средних точек других струн арфы? Почему?

Нет, этот график не годится для средних точек других струн арфы. Разные струны арфы предназначены для извлечения звуков разной высоты, то есть они колеблются с разными основными частотами. Частота колебаний струны зависит от ее длины, силы натяжения и линейной плотности (массы на единицу длины). Чтобы получить разные ноты, эти параметры у струн арфы различаются. Следовательно, у других струн будут иные частоты и периоды колебаний. Амплитуда колебаний также, скорее всего, будет другой, так как она зависит от свойств струны и силы щипка.

Ответ: Нет, не годится, потому что другие струны арфы имеют другие физические параметры (длину, натяжение, толщину) и поэтому колеблются с другими частотами и, как правило, с другими амплитудами.