Номер 42, страница 340 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

42. Груз массой 10 кг падает с высоты 10 м и проникает в мягкий грунт на глубину 20 см. Определите силу сопротивления грунта, считая её постоянной. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано:

Масса груза $m = 10$ кг

Высота падения $h_1 = 10$ м

Глубина проникновения в грунт $h_2 = 20$ см

Перевод в систему СИ:

$h_2 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Силу сопротивления грунта $F_{сопр}$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения энергии в обобщенном виде, который учитывает работу непотенциальных сил (в данном случае — силы сопротивления грунта). Изменение полной механической энергии системы равно работе, совершённой силой сопротивления грунта. Сопротивлением воздуха по условию задачи можно пренебречь.

Теорема об изменении полной механической энергии: $ΔE = W_{непот}$

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии ($E_p=0$) в точке конечной остановки груза, то есть на глубине $h_2$ под поверхностью грунта.

В начальном состоянии груз находится на высоте $H = h_1 + h_2$ относительно выбранного нулевого уровня. Так как груз начинает падать из состояния покоя, его начальная скорость равна нулю, и, следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k1}$ тоже равна нулю. Начальная полная механическая энергия равна его потенциальной энергии:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 + m \cdot g \cdot (h_1 + h_2)$

В конечном состоянии груз останавливается в грунте. Его конечная скорость равна нулю ($E_{k2} = 0$), и он находится на нулевом уровне высоты ($E_{p2} = 0$). Таким образом, его конечная полная механическая энергия равна нулю:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = 0 + 0 = 0$

Изменение полной механической энергии системы:

$ΔE = E_2 - E_1 = 0 - m \cdot g \cdot (h_1 + h_2) = -m \cdot g \cdot (h_1 + h_2)$

Единственная непотенциальная сила, совершающая работу, — это сила сопротивления грунта $F_{сопр}$. Она действует на протяжении пути $h_2$ и направлена противоположно перемещению груза. Следовательно, её работа отрицательна:

$W_{сопр} = -F_{сопр} \cdot h_2$

Приравниваем изменение полной энергии к работе силы сопротивления:

$-m \cdot g \cdot (h_1 + h_2) = -F_{сопр} \cdot h_2$

Отсюда выражаем искомую силу сопротивления грунта:

$F_{сопр} = \frac{m \cdot g \cdot (h_1 + h_2)}{h_2}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (стандартное допущение для упрощения расчетов в школьных задачах). Подставим числовые значения в полученную формулу:

$F_{сопр} = \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ м} + 0.2 \text{ м})}{0.2 \text{ м}} = \frac{100 \text{ Н} \cdot 10.2 \text{ м}}{0.2 \text{ м}} = \frac{1020}{0.2} \text{ Н} = 5100 \text{ Н}$

Полученную силу можно также выразить в килоньютонах: $5100 \text{ Н} = 5.1 \text{ кН}$.

Ответ: сила сопротивления грунта равна $5100$ Н.