Страница 337 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

17. Известно, что для определения координаты прямолинейно движущегося тела используется уравнение $x = x_0 + s_x$. Докажите, что координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении для любого момента времени определяется с помощью уравнения $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, где $x_0$, $v_{0x}$ и $a_x$ — постоянные величины, а $t$ — переменная.

Дано:

Уравнение для определения координаты тела, движущегося прямолинейно: $x = x_0 + s_x$, где $x$ – конечная координата, $x_0$ – начальная координата, $s_x$ – проекция перемещения на ось Ox.

Движение тела является прямолинейным равноускоренным. Это означает, что проекция ускорения на ось Ox постоянна: $a_x = \text{const}$.

Найти:

Доказать, что уравнение координаты для такого движения имеет вид: $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Решение:

Для доказательства нам необходимо найти выражение для проекции перемещения $s_x$ при прямолинейном равноускоренном движении и подставить его в исходное уравнение для координаты.

1. При прямолинейном равноускоренном движении проекция мгновенной скорости $v_x$ на ось Ox изменяется со временем $t$ по линейному закону: $v_x = v_{0x} + a_x t$ где $v_{0x}$ – проекция начальной скорости, а $a_x$ – проекция ускорения.

2. Проекция перемещения $s_x$ за время $t$ может быть найдена как площадь фигуры под графиком зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$. Для равноускоренного движения этот график представляет собой прямую линию, а фигура под ним за промежуток времени от $0$ до $t$ является трапецией.

Основаниями этой трапеции являются значения скорости в начальный и конечный моменты времени, то есть $v_{0x}$ и $v_x$. Высотой трапеции является промежуток времени $t$.

Площадь трапеции (и, следовательно, проекция перемещения) вычисляется по формуле: $s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

3. Подставим в эту формулу выражение для конечной скорости $v_x = v_{0x} + a_x t$: $s_x = \frac{v_{0x} + (v_{0x} + a_x t)}{2} \cdot t$

4. Упростим полученное выражение: $s_x = \frac{2v_{0x} + a_x t}{2} \cdot t$ $s_x = \left(\frac{2v_{0x}}{2} + \frac{a_x t}{2}\right) \cdot t$ $s_x = \left(v_{0x} + \frac{a_x t}{2}\right) \cdot t$ $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

5. Теперь подставим полученное выражение для проекции перемещения $s_x$ в исходное уравнение для координаты $x = x_0 + s_x$: $x = x_0 + \left(v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}\right)$ $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Таким образом, мы доказали, что координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении для любого момента времени определяется с помощью уравнения $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано путем вывода формулы перемещения для прямолинейного равноускоренного движения $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$ и ее подстановки в общее уравнение координаты $x = x_0 + s_x$.

18. Лыжник скатывается с горы, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением 0,1 м/с². Напишите уравнения, выражающие зависимость от времени координаты и проекции вектора скорости движения лыжника, если его начальные координата и скорость равны нулю.

Дано:

Движение прямолинейное, равноускоренное.

Ускорение $a = 0,1 \text{ м/с}^2$.

Начальная координата $x_0 = 0 \text{ м}$.

Начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Уравнение зависимости координаты от времени $x(t)$.

Уравнение зависимости проекции вектора скорости от времени $v_x(t)$.

Решение:

Движение лыжника является прямолинейным и равноускоренным. Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось координат Ox вдоль направления движения лыжника, а начало отсчета ($x=0$) совместим с его начальным положением.

Поскольку лыжник начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и ускоряется, векторы начальной скорости и ускорения сонаправлены с осью Ox. Их проекции на эту ось равны: $v_{0x} = 0 \text{ м/с}$ $a_x = a = 0,1 \text{ м/с}^2$

Уравнение зависимости проекции вектора скорости от времени

В общем виде уравнение зависимости проекции скорости от времени для равноускоренного движения записывается как: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи: $v_{0x} = 0$ и $a_x = 0,1 \text{ м/с}^2$. $v_x(t) = 0 + 0,1 \cdot t$

Таким образом, искомое уравнение для проекции скорости: $v_x(t) = 0,1t$

Ответ: $v_x(t) = 0,1t$ (где скорость $v_x$ измеряется в м/с, а время $t$ — в секундах).

Уравнение зависимости координаты от времени

В общем виде уравнение зависимости координаты от времени (закон движения) для равноускоренного движения записывается как: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи: $x_0 = 0$, $v_{0x} = 0$ и $a_x = 0,1 \text{ м/с}^2$. $x(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{0,1 \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получим искомое уравнение для координаты: $x(t) = 0,05t^2$

Ответ: $x(t) = 0,05t^2$ (где координата $x$ измеряется в метрах, а время $t$ — в секундах).

19. Велосипедист движется по шоссе прямолинейно со скоростью, модуль которой равен 40 км/ч относительно земли. Параллельно ему движется автомобиль. Что можно сказать о модуле вектора скорости и направлении движения автомобиля относительно земли, если относительно велосипедиста модуль скорости автомобиля равен:

а) 0;

б) 10 км/ч;

в) 40 км/ч;

г) 60 км/ч?

Дано:

Модуль скорости велосипедиста относительно земли: $v_{вз} = 40$ км/ч.

Движение велосипедиста и автомобиля происходит по шоссе прямолинейно и параллельно.

Модуль скорости автомобиля относительно велосипедиста ($v_{ав}$), принимает значения:

а) $v_{ав} = 0$ км/ч

б) $v_{ав} = 10$ км/ч

в) $v_{ав} = 40$ км/ч

г) $v_{ав} = 60$ км/ч

$v_{вз} = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{9} \text{ м/с} \approx 11,1$ м/с

а) $v_{ав} = 0 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 0$ м/с

б) $v_{ав} = 10 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 10 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{25}{9} \text{ м/с} \approx 2,8$ м/с

в) $v_{ав} = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \approx 11,1$ м/с

г) $v_{ав} = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \text{ м/с} \approx 16,7$ м/с

Найти:

Модуль скорости автомобиля относительно земли ($v_{аз}$) и направление его движения для каждого из случаев.

Решение:

Воспользуемся законом сложения скоростей. Скорость автомобиля относительно земли ($\vec{v}_{аз}$) равна векторной сумме скорости велосипедиста относительно земли ($\vec{v}_{вз}$) и скорости автомобиля относительно велосипедиста ($\vec{v}_{ав}$):

$\vec{v}_{аз} = \vec{v}_{вз} + \vec{v}_{ав}$

Поскольку движение происходит вдоль одной прямой, введем ось координат $Ox$, направленную в сторону движения велосипедиста. Тогда векторное уравнение можно записать в скалярной форме для проекций скоростей на эту ось:

$v_{аз, x} = v_{вз, x} + v_{ав, x}$

Проекция скорости велосипедиста на ось $Ox$ равна $v_{вз, x} = 40$ км/ч. Проекция относительной скорости автомобиля $v_{ав, x}$ может быть положительной (если автомобиль движется относительно велосипедиста в направлении оси $Ox$) или отрицательной (если он движется против оси $Ox$).

Рассмотрим каждый случай.

а)

Модуль скорости автомобиля относительно велосипедиста равен 0. Это значит, что $v_{ав} = 0$, и автомобиль покоится относительно велосипедиста. Следовательно, их скорости относительно земли равны.

$v_{аз, x} = 40 \text{ км/ч} + 0 = 40$ км/ч.

Ответ: модуль скорости автомобиля равен 40 км/ч, направление движения совпадает с направлением движения велосипедиста.

б)

Модуль скорости автомобиля относительно велосипедиста равен 10 км/ч. Это означает, что $|v_{ав, x}| = 10$ км/ч. Возможны два сценария:

1. Автомобиль движется в ту же сторону, что и велосипедист, и обгоняет его. В этом случае $v_{ав, x} = +10$ км/ч.

$v_{аз, x} = 40 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 50$ км/ч.

2. Автомобиль движется в ту же сторону, но велосипедист его обгоняет. Это значит, что относительно велосипедиста автомобиль движется назад, $v_{ав, x} = -10$ км/ч.

$v_{аз, x} = 40 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 30$ км/ч.

Ответ: модуль скорости автомобиля может быть 50 км/ч или 30 км/ч. В обоих случаях автомобиль движется в том же направлении, что и велосипедист.

в)

Модуль скорости автомобиля относительно велосипедиста равен 40 км/ч. Это означает, что $|v_{ав, x}| = 40$ км/ч. Возможны два сценария:

1. Автомобиль обгоняет велосипедиста, двигаясь в том же направлении: $v_{ав, x} = +40$ км/ч.

$v_{аз, x} = 40 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 80$ км/ч.

2. Автомобиль движется навстречу велосипедисту (или покоится, а велосипедист к нему приближается). В этом случае относительная скорость направлена в противоположную сторону: $v_{ав, x} = -40$ км/ч.

$v_{аз, x} = 40 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 0$ км/ч.

Ответ: модуль скорости автомобиля может быть 80 км/ч (при движении в одном направлении с велосипедистом) или 0 км/ч (в этом случае автомобиль неподвижен относительно земли).

г)

Модуль скорости автомобиля относительно велосипедиста равен 60 км/ч. Это означает, что $|v_{ав, x}| = 60$ км/ч. Возможны два сценария:

1. Автомобиль обгоняет велосипедиста, двигаясь в том же направлении: $v_{ав, x} = +60$ км/ч.

$v_{аз, x} = 40 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 100$ км/ч.

2. Автомобиль движется навстречу велосипедисту. В этом случае $v_{ав, x} = -60$ км/ч.

$v_{аз, x} = 40 \text{ км/ч} - 60 \text{ км/ч} = -20$ км/ч.

Отрицательное значение означает, что автомобиль движется в направлении, противоположном движению велосипедиста. Модуль его скорости равен $|-20 \text{ км/ч}| = 20$ км/ч.

Ответ: модуль скорости автомобиля может быть 100 км/ч (при движении в одном направлении с велосипедистом) или 20 км/ч (при движении в противоположном направлении).

20. Скорость катера относительно воды в реке в 5 раз больше скорости течения воды относительно берега. Рассматривая движение катера относительно берега, определите, во сколько раз быстрее катер движется по течению, чем против него.

Дано:

Пусть $v_т$ — скорость течения воды относительно берега.

Тогда скорость катера относительно воды (собственная скорость) $v_к$ равна:

$v_к = 5 \cdot v_т$

Найти:

Во сколько раз скорость катера по течению ($v_{по}$) больше скорости катера против течения ($v_{против}$) относительно берега, то есть найти отношение $\frac{v_{по}}{v_{против}}$.

Решение:

Для решения задачи используем классический закон сложения скоростей.

1. Скорость катера относительно берега при движении по течению равна сумме собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{по} = v_к + v_т$

Подставляя в это выражение данное из условия соотношение $v_к = 5v_т$, получаем:

$v_{по} = 5v_т + v_т = 6v_т$

2. Скорость катера относительно берега при движении против течения равна разности собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{против} = v_к - v_т$

Подставляя сюда то же соотношение, получаем:

$v_{против} = 5v_т - v_т = 4v_т$

3. Чтобы найти, во сколько раз быстрее катер движется по течению, чем против него, необходимо найти отношение скорости по течению к скорости против течения:

$\frac{v_{по}}{v_{против}} = \frac{6v_т}{4v_т}$

Величина скорости течения $v_т$ сокращается:

$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: катер движется по течению в 1,5 раза быстрее, чем против него.

21. На тело действуют три силы, модули которых: $F_1 = 2 \, \text{Н}$, $F_2 = 5 \, \text{Н}$ и $F_3 = 2 \, \text{Н}$. Направления действия сил показаны на рисунке 232, а. С направлением какого из векторов (рис. 232, б) совпадает направление равнодействующей сил; ускорения тела?

Рис. 232

Дано:

$F_1 = 2$ Н

$F_2 = 5$ Н

$F_3 = 2$ Н

Направления сил показаны на рисунке 232, а.

Найти:

С направлением какого из векторов (рис. 232, б) совпадает направление равнодействующей сил и направление ускорения тела.

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ — это векторная сумма всех сил, действующих на тело: $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$.

Для нахождения суммы векторов введем прямоугольную систему координат. Направим ось $Ox$ горизонтально вправо, а ось $Oy$ — вертикально вверх. Точку приложения сил примем за начало координат.

Из рисунка 232, а и данных задачи определим проекции каждой силы на оси координат. Масштаб сетки на рисунке таков, что одна клетка соответствует 1 Н.

• Вектор силы $\vec{F}_1$ направлен вдоль оси $Oy$. Его проекции: $F_{1x} = 0$ Н, $F_{1y} = 2$ Н.
• Вектор силы $\vec{F}_2$ направлен противоположно оси $Oy$. Его проекции: $F_{2x} = 0$ Н, $F_{2y} = -5$ Н.
• Вектор силы $\vec{F}_3$ направлен вдоль оси $Ox$. Его проекции: $F_{3x} = 2$ Н, $F_{3y} = 0$ Н.

Теперь найдем проекции равнодействующей силы $\vec{R}$ как суммы проекций составляющих сил:

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 + 0 + 2 = 2$ Н

$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 2 + (-5) + 0 = -3$ Н

Таким образом, вектор равнодействующей силы имеет координаты $\vec{R} = (2; -3)$. Этот вектор направлен вправо на 2 единицы и вниз на 3 единицы.

Проанализируем направления векторов, изображенных на рисунке 232, б, в той же системе координат:

• Вектор 1: направлен по координатам $(1; 3)$
• Вектор 2: направлен по координатам $(2; 2)$
• Вектор 3: направлен по координатам $(2; -2)$
• Вектор 4: направлен по координатам $(1; -3)$

Сравнивая полученный вектор равнодействующей силы $\vec{R} = (2; -3)$ с предложенными вариантами, мы видим, что точного совпадения нет. Вероятно, в условии задачи или на рисунке имеется неточность. Однако мы можем выбрать наиболее близкий по направлению вектор.

Равнодействующая сила направлена в четвертый координатный квадрант (так как $R_x > 0$ и $R_y < 0$), как и векторы 3 и 4. Сравним их направления. Направление вектора характеризуется тангенсом угла наклона к оси $Ox$.

• Для равнодействующей силы $\vec{R}$: отношение проекций $R_y/R_x = -3/2 = -1.5$.
• Для вектора 3: отношение проекций $-2/2 = -1$.
• Для вектора 4: отношение проекций $-3/1 = -3$.

Значение $-1.5$ находится ближе к значению $-1$ (вектор 3), чем к значению $-3$ (вектор 4). Следовательно, направление вектора 3 является наиболее близким к направлению равнодействующей силы.

Согласно второму закону Ньютона, $\vec{R} = m\vec{a}$. Вектор ускорения $\vec{a}$ всегда сонаправлен с вектором равнодействующей силы $\vec{R}$. Значит, направление ускорения тела также совпадает с направлением вектора 3.

Ответ: Направление равнодействующей сил и ускорения тела совпадает с направлением вектора 3.