Номер 17, страница 337 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

17. Известно, что для определения координаты прямолинейно движущегося тела используется уравнение $x = x_0 + s_x$. Докажите, что координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении для любого момента времени определяется с помощью уравнения $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, где $x_0$, $v_{0x}$ и $a_x$ — постоянные величины, а $t$ — переменная.

Дано:

Уравнение для определения координаты тела, движущегося прямолинейно: $x = x_0 + s_x$, где $x$ – конечная координата, $x_0$ – начальная координата, $s_x$ – проекция перемещения на ось Ox.

Движение тела является прямолинейным равноускоренным. Это означает, что проекция ускорения на ось Ox постоянна: $a_x = \text{const}$.

Найти:

Доказать, что уравнение координаты для такого движения имеет вид: $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Решение:

Для доказательства нам необходимо найти выражение для проекции перемещения $s_x$ при прямолинейном равноускоренном движении и подставить его в исходное уравнение для координаты.

1. При прямолинейном равноускоренном движении проекция мгновенной скорости $v_x$ на ось Ox изменяется со временем $t$ по линейному закону: $v_x = v_{0x} + a_x t$ где $v_{0x}$ – проекция начальной скорости, а $a_x$ – проекция ускорения.

2. Проекция перемещения $s_x$ за время $t$ может быть найдена как площадь фигуры под графиком зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$. Для равноускоренного движения этот график представляет собой прямую линию, а фигура под ним за промежуток времени от $0$ до $t$ является трапецией.

Основаниями этой трапеции являются значения скорости в начальный и конечный моменты времени, то есть $v_{0x}$ и $v_x$. Высотой трапеции является промежуток времени $t$.

Площадь трапеции (и, следовательно, проекция перемещения) вычисляется по формуле: $s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

3. Подставим в эту формулу выражение для конечной скорости $v_x = v_{0x} + a_x t$: $s_x = \frac{v_{0x} + (v_{0x} + a_x t)}{2} \cdot t$

4. Упростим полученное выражение: $s_x = \frac{2v_{0x} + a_x t}{2} \cdot t$ $s_x = \left(\frac{2v_{0x}}{2} + \frac{a_x t}{2}\right) \cdot t$ $s_x = \left(v_{0x} + \frac{a_x t}{2}\right) \cdot t$ $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

5. Теперь подставим полученное выражение для проекции перемещения $s_x$ в исходное уравнение для координаты $x = x_0 + s_x$: $x = x_0 + \left(v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}\right)$ $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Таким образом, мы доказали, что координата тела при его прямолинейном равноускоренном движении для любого момента времени определяется с помощью уравнения $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано путем вывода формулы перемещения для прямолинейного равноускоренного движения $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$ и ее подстановки в общее уравнение координаты $x = x_0 + s_x$.