Страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Горизонтальный пружинный маятник, изображённый на рисунке 97, отвели в сторону и отпустили. Как меняются перечисленные в таблице величины при движении маятника на указанных участках его пути? Перечертите таблицу в тетрадь и заполните её.

От В к О

На этом участке маятник движется из крайнего правого положения (точка B), где его скорость равна нулю, а деформация пружины максимальна, к положению равновесия (точка О).

Сила упругости $F_{упр}$: Деформация пружины $x$ уменьшается от максимальной до нуля. Согласно закону Гука ($|F_{упр}| = k|x|$), сила упругости также уменьшается.

Скорость $v$: Сила упругости направлена к положению равновесия и сообщает телу ускорение. Скорость маятника увеличивается от нуля до максимального значения.

Потенциальная энергия $E_п$: Потенциальная энергия пружины ($E_п = \frac{kx^2}{2}$) зависит от квадрата деформации. Так как деформация уменьшается, потенциальная энергия уменьшается.

Кинетическая энергия $E_к$: Кинетическая энергия тела ($E_к = \frac{mv^2}{2}$) зависит от квадрата скорости. Так как скорость растет, кинетическая энергия увеличивается. Происходит преобразование потенциальной энергии в кинетическую.

Механическая энергия в реальных условиях (с трением): Из-за работы силы трения, направленной против движения, полная механическая энергия уменьшается.

Механическая энергия в идеальных условиях (без трения): При отсутствии трения выполняется закон сохранения механической энергии, поэтому она не изменяется.

Ответ: Сила упругости уменьшается; скорость увеличивается; потенциальная энергия уменьшается; кинетическая энергия увеличивается; механическая энергия (с трением) уменьшается; механическая энергия (без трения) не изменяется.

От О к А

На этом участке маятник движется от положения равновесия (точка О), где его скорость максимальна, к крайнему левому положению (точка А).

Сила упругости $F_{упр}$: Маятник удаляется от положения равновесия, деформация пружины $|x|$ растет от нуля до максимального значения. Следовательно, сила упругости увеличивается.

Скорость $v$: Сила упругости теперь направлена против движения (к точке О), замедляя маятник. Скорость уменьшается от максимальной до нуля.

Потенциальная энергия $E_п$: Так как деформация $|x|$ увеличивается, потенциальная энергия пружины увеличивается.

Кинетическая энергия $E_к$: Поскольку скорость уменьшается, кинетическая энергия уменьшается. Происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную.

Механическая энергия в реальных условиях (с трением): Сила трения продолжает совершать отрицательную работу, поэтому полная механическая энергия уменьшается.

Механическая энергия в идеальных условиях (без трения): Полная механическая энергия сохраняется и не изменяется.

Ответ: Сила упругости увеличивается; скорость уменьшается; потенциальная энергия увеличивается; кинетическая энергия уменьшается; механическая энергия (с трением) уменьшается; механическая энергия (без трения) не изменяется.

От А к О

Движение от крайнего левого положения (точка А) к положению равновесия (точка О) симметрично движению от В к О.

Сила упругости $F_{упр}$: Деформация пружины $|x|$ уменьшается от максимальной до нуля. Сила упругости уменьшается.

Скорость $v$: Сила упругости направлена по ходу движения (к точке О), ускоряя маятник. Скорость увеличивается от нуля до максимального значения.

Потенциальная энергия $E_п$: Так как деформация уменьшается, потенциальная энергия уменьшается.

Кинетическая энергия $E_к$: Поскольку скорость растет, кинетическая энергия увеличивается.

Механическая энергия в реальных условиях (с трением): За счет действия силы трения полная механическая энергия уменьшается.

Механическая энергия в идеальных условиях (без трения): Полная механическая энергия не изменяется.

Ответ: Сила упругости уменьшается; скорость увеличивается; потенциальная энергия уменьшается; кинетическая энергия увеличивается; механическая энергия (с трением) уменьшается; механическая энергия (без трения) не изменяется.

От О к В

Движение от положения равновесия (точка О) к крайнему правому положению (точка В) симметрично движению от О к А.

Сила упругости $F_{упр}$: Деформация пружины $|x|$ растет от нуля до максимального значения. Сила упругости увеличивается.

Скорость $v$: Сила упругости направлена против движения, замедляя маятник. Скорость уменьшается от максимальной до нуля.

Потенциальная энергия $E_п$: Так как деформация увеличивается, потенциальная энергия увеличивается.

Кинетическая энергия $E_к$: Поскольку скорость уменьшается, кинетическая энергия уменьшается.

Механическая энергия в реальных условиях (с трением): Полная механическая энергия продолжает уменьшаться из-за потерь на трение.

Механическая энергия в идеальных условиях (без трения): Полная механическая энергия не изменяется.

Ответ: Сила упругости увеличивается; скорость уменьшается; потенциальная энергия увеличивается; кинетическая энергия уменьшается; механическая энергия (с трением) уменьшается; механическая энергия (без трения) не изменяется.

2. На рисунке 112 изображён шарик на нити, колеблющийся без трения между точками А и В. Находясь в точке В, этот маятник обладает потенциальной энергией, равной 0,01 Дж относительно горизонтали 1, принятой за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии. Чему равна: а) потенциальная энергия шарика в точках А и О; б) кинетическая энергия шарика в точках В, О и А; в) полная механическая энергия шарика в точках В, D, О, С и А?

Дано:

Колебания шарика происходят без трения.

Горизонталь 1 - нулевой уровень отсчета потенциальной энергии ($h=0$).

Потенциальная энергия в точке B: $E_{п,B} = 0,01$ Дж.

Найти:

а) $E_{п,А}$ - ?, $E_{п,О}$ - ?

б) $E_{к,B}$ - ?, $E_{к,О}$ - ?, $E_{к,А}$ - ?

в) $E_{полн,B}$ - ?, $E_{полн,D}$ - ?, $E_{полн,O}$ - ?, $E_{полн,C}$ - ?, $E_{полн,A}$ - ?

Решение:

Полная механическая энергия маятника $E_{полн}$ является суммой его кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий: $E_{полн} = E_к + E_п$.

Поскольку по условию задачи трение отсутствует, полная механическая энергия системы сохраняется, то есть она одинакова в любой точке траектории движения шарика.

а) потенциальная энергия шарика в точках А и О

Точка О находится на горизонтали 1, которая принята за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии. Следовательно, высота шарика в этой точке $h_O = 0$, и его потенциальная энергия равна нулю: $E_{п,О} = mgh_O = 0$.

Точки А и В являются крайними точками траектории (точками поворота). Вследствие симметрии колебаний без трения, высота подъема шарика в этих точках одинакова относительно положения равновесия. Следовательно, их потенциальные энергии равны. $E_{п,А} = E_{п,В}$. По условию $E_{п,В} = 0,01$ Дж. Значит, $E_{п,А} = 0,01$ Дж.

Ответ: потенциальная энергия в точке А равна $0,01$ Дж, в точке О равна $0$ Дж.

б) кинетическая энергия шарика в точках B, O и A

В крайних точках траектории A и B шарик на мгновение останавливается, чтобы изменить направление движения. Его скорость в этих точках равна нулю ($v_A = v_B = 0$). Кинетическая энергия, которая вычисляется по формуле $E_к = \frac{mv^2}{2}$, в этих точках также равна нулю: $E_{к,А} = 0$ Дж и $E_{к,В} = 0$ Дж.

Для нахождения кинетической энергии в точке О воспользуемся законом сохранения энергии. Сначала определим полную механическую энергию маятника. Это можно сделать для точки B, где нам известны и потенциальная, и кинетическая энергии:

$E_{полн} = E_{п,В} + E_{к,В} = 0,01 \text{ Дж} + 0 \text{ Дж} = 0,01$ Дж.

Так как полная энергия сохраняется, в точке О она также равна $0,01$ Дж. В точке О потенциальная энергия равна нулю ($E_{п,О} = 0$). Следовательно, вся механическая энергия в этой точке является кинетической:

$E_{полн} = E_{п,О} + E_{к,О}$

$0,01 \text{ Дж} = 0 + E_{к,О}$

$E_{к,О} = 0,01$ Дж.

Ответ: кинетическая энергия в точке B равна $0$ Дж, в точке O равна $0,01$ Дж, в точке A равна $0$ Дж.

в) полная механическая энергия шарика в точках B, D, O, C и A

Как было установлено ранее, в системе отсутствует трение, поэтому выполняется закон сохранения полной механической энергии. Это означает, что в любой точке траектории (A, C, O, D, B) полная механическая энергия маятника остается постоянной.

Мы уже вычислили полную механическую энергию в точке B: $E_{полн} = 0,01$ Дж.

Следовательно, полная механическая энергия в любой из указанных точек будет такой же.

$E_{полн,А} = E_{полн,С} = E_{полн,О} = E_{полн,D} = E_{полн,В} = 0,01$ Дж.

Ответ: полная механическая энергия шарика в точках B, D, O, C и A одинакова и равна $0,01$ Дж.

3. Шарик, подвешенный на нити, отклонили от положения равновесия так, что его высота над землёй увеличилась на 5 см, после чего он начал совершать колебания. С какой скоростью шарик в четвёртый раз пройдёт положение равновесия, если его колебания можно считать незатухающими?

Дано:

$\Delta h = 5 \text{ см}$

$\Delta h = 0.05 \text{ м}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v$ - ?

Решение:

В задаче указано, что колебания шарика можно считать незатухающими. Это означает, что полная механическая энергия системы (шарик и поле тяготения Земли) сохраняется. Полная механическая энергия $E$ складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Рассмотрим два положения шарика:

1. В точке максимального отклонения. Шарик отклонили так, что его высота увеличилась на $\Delta h = 0.05 \text{ м}$. В этой крайней точке его скорость на мгновение равна нулю ($v_1=0$). Вся механическая энергия является потенциальной. Примем положение равновесия за нулевой уровень высоты ($h=0$). Тогда в точке максимального отклонения высота шарика равна $h_1 = \Delta h$.

$E_1 = \frac{m \cdot 0^2}{2} + mg\Delta h = mg\Delta h$

2. В положении равновесия. В этой точке (самой нижней точке траектории) высота шарика над нулевым уровнем равна нулю ($h_2 = 0$), а скорость максимальна. Обозначим эту скорость как $v$. Вся механическая энергия является кинетической.

$E_2 = \frac{mv^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv^2}{2}$

По закону сохранения энергии, энергия в первом положении равна энергии во втором положении ($E_1=E_2$):

$mg\Delta h = \frac{mv^2}{2}$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$g\Delta h = \frac{v^2}{2}$

Отсюда выразим искомую скорость $v$:

$v^2 = 2g\Delta h$

$v = \sqrt{2g\Delta h}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.05 \text{ м}} = \sqrt{1 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Условие о том, что шарик проходит положение равновесия в четвертый раз, не влияет на результат, так как при незатухающих колебаниях скорость в положении равновесия будет одинаковой при каждом его прохождении.

Ответ: скорость шарика при прохождении положения равновесия равна $1 \text{ м/с}$.

4. Подвешенному на нити шарику сообщили в горизонтальном направлении скорость 1 м/с, после чего он начал совершать затухающие колебания. Через пять полных колебаний энергия системы уменьшилась в 2 раза. Чему равна скорость шарика в этот момент?

Дано:

Начальная скорость шарика, $v_1 = 1 \text{ м/с}$

Уменьшение энергии, $\frac{E_1}{E_2} = 2$

Количество колебаний, $N = 5$

Найти:

Скорость шарика после пяти колебаний, $v_2$

Решение:

В начальный момент времени шарику сообщают скорость в положении равновесия (самой нижней точке траектории). В этой точке потенциальная энергия шарика минимальна, и мы можем принять ее равной нулю. Таким образом, полная механическая энергия системы в начальный момент времени $E_1$ равна его кинетической энергии $E_{k1}$:

$E_1 = E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2}$

где $m$ - масса шарика, а $v_1$ - его начальная скорость.

Колебания являются затухающими, что означает, что полная механическая энергия системы со временем уменьшается из-за сил сопротивления.

По условию, через пять полных колебаний шарик снова проходит положение равновесия. В этот момент его полная механическая энергия $E_2$ также равна его кинетической энергии $E_{k2}$, так как потенциальная энергия снова равна нулю:

$E_2 = E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$

где $v_2$ - скорость шарика в положении равновесия после пяти колебаний.

По условию задачи, через пять полных колебаний энергия системы уменьшилась в 2 раза. Это означает, что:

$E_2 = \frac{E_1}{2}$ или $E_1 = 2E_2$

Подставим выражения для энергий в это соотношение:

$\frac{mv_1^2}{2} = 2 \cdot \frac{mv_2^2}{2}$

Сократим массу $m$ и множитель $\frac{1}{2}$ в обеих частях уравнения:

$v_1^2 = 2v_2^2$

Выразим искомую скорость $v_2$:

$v_2^2 = \frac{v_1^2}{2}$

$v_2 = \sqrt{\frac{v_1^2}{2}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$

Теперь подставим числовое значение начальной скорости $v_1 = 1 \text{ м/с}$:

$v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071 \text{ м/с}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: скорость шарика в этот момент равна $\frac{1}{\sqrt{2}} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $0.71 \text{ м/с}$.