Страница 155 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Расскажите о цели, порядке выполнения и результатах опытов, изображённых на рисунках 107 и 109.

Расскажите о цели, порядке выполнения и результатах опытов, изображённых на рисунках 107 и 109.

Данные опыты демонстрируют фундаментальную связь между электричеством и магнетизмом.

Опыт, изображённый на рисунке 107 (Опыт Эрстеда)

Цель опыта: Экспериментально доказать, что вокруг проводника с электрическим током существует магнитное поле.

Порядок выполнения:

1. Над или под магнитной стрелкой, свободно вращающейся на оси, размещают изолированный прямолинейный проводник. Проводник располагают параллельно магнитной стрелке в её исходном состоянии (ориентация по линии север-юг).

2. Проводник подключают к источнику тока через выключатель (ключ).

3. Замыкают ключ, чтобы по проводнику пошёл электрический ток, и наблюдают за поведением магнитной стрелки.

Результаты и выводы: Как только по проводнику начинает течь ток, магнитная стрелка отклоняется от своего первоначального положения и стремится расположиться перпендикулярно проводнику. Если изменить направление тока на противоположное, стрелка также развернется на 180°. Этот опыт, впервые проведённый Гансом Христианом Эрстедом в 1820 году, наглядно доказывает, что электрический ток порождает вокруг себя магнитное поле, которое оказывает силовое воздействие на магнитную стрелку.

Опыт, изображённый на рисунке 109 (Исследование магнитного поля катушки с током)

Цель опыта: Получить наглядное представление о форме и структуре магнитного поля, создаваемого катушкой с током (соленоидом).

Порядок выполнения:

1. Катушку из медной проволоки (соленоид) подключают к источнику тока.

2. На катушку или на горизонтально расположенный над ней лист картона (или стекла) равномерно насыпают мелкие железные опилки.

3. Замыкают цепь, чтобы по виткам катушки пошёл ток, и слегка постукивают по листу картона.

Результаты и выводы: Железные опилки, оказавшись в магнитном поле, намагничиваются и выстраиваются вдоль определённых линий, называемых магнитными линиями. Эти линии делают видимой структуру магнитного поля. Внутри катушки линии практически параллельны и расположены густо, что указывает на то, что поле там однородное и сильное. Снаружи катушки линии выходят из одного её торца (северного полюса) и входят в другой (южный полюс), образуя замкнутые кривые. Полученная картина поля очень похожа на магнитное поле постоянного полосового магнита. Таким образом, опыт доказывает, что катушка с током является электромагнитом.

Ответ: Цель опыта на рисунке 107 — доказать существование магнитного поля вокруг проводника с током, результатом является отклонение магнитной стрелки. Цель опыта на рисунке 109 — визуализировать магнитное поле катушки с током, результатом является расположение железных опилок вдоль магнитных линий, показывающее, что поле катушки подобно полю постоянного магнита.

2. Чему соответствуют отрезки...

Вопрос на изображении приведён не полностью. Наиболее вероятно, что полный вопрос звучит так: «Чему соответствуют линии (отрезки), образованные железными опилками в опыте на рисунке 109?». Исходя из этого предположения, даётся следующий ответ.

Цепочки или линии, которые образуют железные опилки в магнитном поле катушки с током, соответствуют магнитным линиям (или линиям магнитной индукции). Каждая отдельная железная опилка в магнитном поле намагничивается и ведёт себя как крошечная магнитная стрелка, ориентируясь вдоль направления поля в данной точке. Совокупность таких ориентированных опилок наглядно отображает (визуализирует) геометрию и направление магнитного поля. Густота расположения этих линий характеризует интенсивность поля: где линии гуще, там магнитное поле сильнее.

Ответ: Отрезки (линии), образованные железными опилками, соответствуют магнитным линиям поля, которое создаётся электрическим током в катушке.

2. Чему соответствуют отрезки ОА и ОТ на графике (см. рис. 108)?

Расскажите о цели, порядке выполнения и результатах опытов, изображённых на рисунках 107 и 109.

Решение

Поскольку сами рисунки отсутствуют, можно предположить, что на них изображены стандартные для изучения колебательных процессов установки: математический и пружинный маятники.

Опыт с математическим маятником (вероятно, рис. 107)

Цель: Исследовать зависимость периода свободных колебаний математического маятника от его длины.

Порядок выполнения:

1. Собрать установку, состоящую из небольшого тяжёлого шарика, подвешенного на длинной и лёгкой нерастяжимой нити.

2. Измерить длину нити $l$ от точки подвеса до центра шарика.

3. Отклонить маятник от положения равновесия на небольшой угол (не более 5–7°) и отпустить его, чтобы он начал свободно колебаться.

4. С помощью секундомера измерить время $t$, за которое маятник совершает определённое число $N$ полных колебаний (например, 20 или 30 для повышения точности).

5. Рассчитать период колебаний по формуле: $T = t / N$.

6. Повторить измерения несколько раз, изменяя длину нити $l$, и занести данные в таблицу для анализа.

Результат: Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды (при малых углах отклонения), но зависит от длины подвеса. С увеличением длины нити период колебаний увеличивается. Эта зависимость описывается формулой Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Опыт с пружинным маятником (вероятно, рис. 109)

Цель: Исследовать зависимость периода свободных колебаний пружинного маятника от массы груза и жёсткости пружины.

Порядок выполнения:

1. Подвесить пружину с известной жёсткостью $k$ к штативу и прикрепить к ней груз массой $m$.

2. Вывести систему из положения равновесия, оттянув груз немного вниз, и отпустить.

3. Измерить время $t$ для $N$ полных колебаний и рассчитать период $T = t/N$.

4. Повторить опыт с грузами разной массы, а также, если возможно, с пружинами разной жёсткости $k$.

Результат: Период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и жёсткости пружины. С увеличением массы груза период увеличивается, а с увеличением жёсткости пружины — уменьшается. Период не зависит от амплитуды колебаний (в пределах упругости пружины). Зависимость описывается формулой: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$.

Ответ: Цель опытов — изучение зависимостей периодов колебаний математического и пружинного маятников от их параметров. Порядок выполнения включает измерение времени некоторого числа колебаний для расчёта периода при разных параметрах (длина для математического маятника, масса и жёсткость для пружинного). Результаты показывают, что период математического маятника зависит от его длины ($T \sim \sqrt{l}$), а период пружинного маятника — от массы груза и жёсткости пружины ($T \sim \sqrt{m/k}$).

2. Чему соответствуют отрезки OA и OT на графике (см. рис. 108)?

Решение

На типичном графике колебательного движения по оси ординат (вертикальной) откладывают смещение тела от положения равновесия $x$, а по оси абсцисс (горизонтальной) — время $t$. Положение равновесия соответствует $x=0$. Точка O обычно является началом координат $(0, 0)$.

Отрезок OA на таком графике, отложенный по вертикальной оси от положения равновесия (точка О) до точки максимального смещения (точка А), представляет собой амплитуду колебаний. Амплитуда — это модуль максимального смещения колеблющегося тела от положения равновесия. Обозначается буквой $A$ или $x_{max}$.

Отрезок OT, отложенный по горизонтальной оси времени, как правило, соответствует времени одного полного колебания. То есть, если в момент времени $t=0$ система начала колебаться, то в момент времени $t=T$ она совершит одно полное колебание и вернётся в исходное состояние (то же положение и та же скорость). Эта величина называется периодом колебаний и обозначается буквой $T$.

Ответ: Отрезок OA на графике соответствует амплитуде колебаний, а отрезок OT — периоду колебаний.

3. Какие колебания называют ...

Решение

Текст вопроса на изображении обрывается. Если предположить, что вопрос был «Какие колебания называют затухающими?», то ответ следующий:

Затухающими называют колебания, энергия которых со временем уменьшается из-за сил сопротивления или трения. Внешне это проявляется в том, что амплитуда колебаний постепенно спадает до нуля. В реальном мире любые колебания, предоставленные сами себе (свободные колебания), являются затухающими. Например, маятник, выведенный из положения равновесия, со временем остановится из-за сопротивления воздуха и трения в точке подвеса.

Ответ: Затухающими называют колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

3. Какие колебания называют гармоническими?

Гармоническими колебаниями называют периодические изменения физической величины со временем, которые происходят по закону синуса или косинуса. Это наиболее простой и фундаментальный вид колебательного движения.

Математически гармоническое колебание описывается уравнением вида:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

или

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$,

где:

$x(t)$ — смещение колеблющейся величины (например, координаты тела) от положения равновесия в момент времени $t$;

$A$ — амплитуда колебаний, то есть максимальное значение смещения от положения равновесия;

$\omega$ — циклическая (или угловая) частота, которая связана с периодом $T$ и линейной частотой $\nu$ соотношениями $\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu$;

$(\omega t + \phi_0)$ — фаза колебаний, определяющая состояние колебательной системы в момент времени $t$;

$\phi_0$ — начальная фаза колебаний, то есть фаза в начальный момент времени ($t=0$).

Физической причиной гармонических колебаний является наличие возвращающей силы, которая пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена к этому положению. Для механических систем эта сила описывается законом Гука: $F = -kx$, где $k$ — коэффициент жесткости. Примерами систем, совершающих колебания, близкие к гармоническим, являются груз на пружине (пружинный маятник) и математический маятник при малых углах отклонения.

Ответ: Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина (например, смещение, напряжение) изменяется со временем по синусоидальному или косинусоидальному закону. Они описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ и возникают под действием возвращающей силы, прямо пропорциональной смещению от положения равновесия.

4. Модель математического маятника — это идеализированная физическая система, которая используется для описания и анализа колебательного движения небольшого тела, подвешенного на длинной нити.

Эта модель основана на следующих допущениях (идеализациях):

1. Колеблющееся тело является материальной точкой, то есть его размеры пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса, а вся масса $m$ считается сосредоточенной в этой точке.

2. Подвес представляет собой абсолютно нерастяжимую и невесомую нить длиной $l$. Это означает, что длина маятника в процессе движения не меняется, а массой нити можно пренебречь по сравнению с массой тела.

3. Отсутствуют любые силы сопротивления движению, такие как трение в точке подвеса или сопротивление воздуха.

4. Колебания происходят в одной вертикальной плоскости под действием постоянной по величине и направлению силы тяжести.

Эта модель позволяет существенно упростить математическое описание движения. Для малых углов отклонения от положения равновесия движение математического маятника с высокой точностью можно считать гармоническими колебаниями. Период этих малых колебаний определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,

где $l$ — длина нити, а $g$ — ускорение свободного падения. Важно отметить, что в рамках данной модели период малых колебаний не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний.

Ответ: Модель математического маятника — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой $m$, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$, которая совершает колебания под действием силы тяжести в отсутствие каких-либо сил трения и сопротивления среды.

4. Что представляет собой модель математического маятника?

4. Что представляет собой модель математического маятника?

Математический маятник — это идеализированная физическая модель, которая используется для описания колебаний реального маятника в условиях, когда многие факторы можно считать пренебрежимо малыми. Эта модель состоит из следующих элементов:

• Материальная точка: Тело, подвешенное на нити, рассматривается как точка, обладающая массой $m$, но не имеющая размеров. Это допущение справедливо, если размеры тела значительно меньше длины подвеса.
• Невесомая и нерастяжимая нить: Нить, на которой подвешена материальная точка, считается не имеющей массы и не изменяющей свою длину $l$ в процессе колебаний.
• Отсутствие трения: Предполагается, что колебания происходят без сопротивления воздуха и без трения в точке подвеса.
• Движение под действием силы тяжести: Единственной силой, вызывающей возвращение маятника в положение равновесия (возвращающей силой), является составляющая силы тяжести.

Такая идеализация позволяет получить простое дифференциальное уравнение движения маятника: $ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 $, где $\theta$ — угол отклонения от вертикали, $g$ — ускорение свободного падения, $l$ — длина нити. Эта модель является фундаментальной для изучения колебательных процессов.

Ответ: Модель математического маятника представляет собой материальную точку массой $m$, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$ в однородном поле силы тяжести, колебания которой рассматриваются без учета сил трения и сопротивления среды.

Колебания называются гармоническими, если они описываются законом синуса или косинуса, что соответствует уравнению вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. Это происходит, когда возвращающая сила прямо пропорциональна смещению от положения равновесия и направлена к нему: $F = -kx$.

Для нитяного маятника возвращающая сила, которая стремится вернуть маятник в нижнее положение (положение равновесия), является тангенциальной составляющей силы тяжести: $F_{\tau} = -mg \sin\theta$, где $m$ — масса груза, $g$ — ускорение свободного падения, а $\theta$ — угол отклонения нити от вертикали.

Чтобы колебания были близки к гармоническим, сила $F_{\tau}$ должна быть пропорциональна смещению. Смещение маятника вдоль дуги траектории равно $s = l\theta$, где $l$ — длина нити. Таким образом, требуется, чтобы $\sin\theta$ было примерно равно $\theta$ (в радианах). Это условие выполняется для малых углов отклонения (так называемое малоугловое приближение).

Следовательно, для того чтобы реальный нитяной маятник совершал колебания, близкие к гармоническим, должны выполняться следующие условия:

• Малый угол отклонения: Амплитуда колебаний должна быть небольшой. На практике считают, что угол отклонения не должен превышать 5-7 градусов. При этом условии $\sin\theta \approx \theta$, и возвращающая сила становится приблизительно пропорциональной смещению: $F_{\tau} \approx -mg\theta = -\frac{mg}{l}s$.
• Пренебрежимо малое трение: Силы сопротивления воздуха и трение в точке подвеса должны быть очень малыми по сравнению с силой тяжести. В противном случае колебания будут затухающими, а не гармоническими.
• Свойства маятника, близкие к идеальной модели: Чтобы реальный маятник вел себя как математический, необходимо, чтобы:
  • масса нити была значительно меньше массы груза;
  • нить была практически нерастяжимой;
  • размеры груза были значительно меньше длины нити.

Ответ: Колебания реального нитяного маятника будут близки к гармоническим при условии, что амплитуда его колебаний мала (угол отклонения не превышает 5–7°), а силы трения и сопротивления воздуха пренебрежимо малы.

5. При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим?

При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим?

Реальный нитяной маятник совершает колебания, близкие к гармоническим, когда его движение можно описать моделью идеального математического маятника. Это требует выполнения нескольких условий.

Гармоническими называются колебания, при которых возвращающая сила прямо пропорциональна смещению тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Для нитяного маятника, состоящего из груза массой $m$ на нити длиной $l$, возвращающая сила является тангенциальной составляющей силы тяжести:

$F_{возвр} = -mg \sin(\alpha)$

где $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.

Для того чтобы колебания были гармоническими, эта сила должна быть пропорциональна углу смещения $\alpha$ (или, что то же самое, длине дуги $s = l\alpha$). Это условие выполняется только для малых углов отклонения. В математике для малых углов (обычно до 5–10°, или ~0,1-0,17 радиан) справедливо приближение:

$\sin(\alpha) \approx \alpha$ (где $\alpha$ выражен в радианах)

При таком допущении формула для возвращающей силы приобретает вид, характерный для гармонических колебаний:

$F_{возвр} \approx -mg\alpha = -(\frac{mg}{l})s$

Таким образом, можно выделить следующие условия, при которых колебания реального нитяного маятника будут близки к гармоническим:

• Малая амплитуда колебаний. Угол отклонения маятника от положения равновесия не должен превышать нескольких градусов. Это основное условие, обеспечивающее линейную зависимость возвращающей силы от смещения.
• Пренебрежимо малое трение и сопротивление воздуха. В реальной системе силы трения в точке подвеса и сопротивление воздуха вызывают затухание колебаний (уменьшение их амплитуды со временем). Для того чтобы колебания были близки к гармоническим (идеализированным, незатухающим), эти диссипативные силы должны быть минимальными.
• Нить должна быть невесомой и нерастяжимой. Масса нити должна быть значительно меньше массы груза, чтобы ее можно было не учитывать. Также нить не должна растягиваться под действием веса груза и центробежной силы, чтобы ее длина $l$ оставалась постоянной.
• Груз должен быть материальной точкой. Это означает, что размеры груза должны быть пренебрежимо малы по сравнению с длиной нити. Это позволяет не учитывать вращательное движение груза и считать, что вся его масса сосредоточена в одной точке.

Ответ: Колебания реального нитяного маятника близки к гармоническим при малой амплитуде колебаний (малых углах отклонения), а также если силы трения и сопротивления среды пренебрежимо малы, нить является невесомой и нерастяжимой, а размеры колеблющегося тела значительно меньше длины нити.

6. Как меняются возвращающая сила, ускорение и скорость тела при совершении им гармонических колебаний?

При гармонических колебаниях смещение тела от положения равновесия $x$ изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Рассмотрим, как при этом изменяются ключевые физические величины, характеризующие движение тела.

Возвращающая сила

Возвращающая сила ($F_{возвр}$) — это сила, которая вызывает колебания, постоянно стремясь вернуть тело в положение равновесия. Главной особенностью гармонических колебаний является то, что эта сила прямо пропорциональна смещению тела $x$ от положения равновесия и направлена в противоположную сторону. Это описывается формулой $F_{возвр} = -kx$, где $k$ — это коэффициент пропорциональности (например, жесткость пружины). Знак "минус" указывает на то, что вектор силы всегда направлен к положению равновесия ($x=0$).

Изменение силы происходит следующим образом:

• В положении равновесия ($x=0$) возвращающая сила равна нулю.

• В крайних точках траектории, где смещение максимально и равно амплитуде ($x = \pm A$), модуль возвращающей силы также максимален и равен $|F_{возвр}|_{max} = kA$.

Таким образом, сила изменяется по гармоническому закону синхронно со смещением, но в противофазе (когда смещение максимально в одну сторону, сила максимальна в другую).

Ответ: Возвращающая сила изменяется по гармоническому закону. Она прямо пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия. Сила равна нулю в положении равновесия и достигает максимального значения по модулю в крайних точках отклонения.

Ускорение

Согласно второму закону Ньютона ($F=ma$), ускорение $a$ прямо пропорционально силе, действующей на тело. Так как возвращающая сила изменяется по гармоническому закону, то и ускорение тоже. Подставив формулу для силы, получим $ma = -kx$, откуда $a = -(\frac{k}{m})x$.

Изменение ускорения полностью повторяет изменение возвращающей силы:

• В положении равновесия ($x=0$), где сила равна нулю, ускорение также равно нулю.

• В крайних точках ($x = \pm A$), где модуль силы максимален, модуль ускорения также максимален: $|a|_{max} = (\frac{k}{m})A$.

Ускорение, как и сила, всегда направлено к положению равновесия и находится в противофазе со смещением.

Ответ: Ускорение изменяется по гармоническому закону, так же как и возвращающая сила. Оно прямо пропорционально смещению и направлено к положению равновесия. Ускорение равно нулю в положении равновесия и максимально по модулю в крайних точках отклонения.

Скорость

Изменение скорости $v$ происходит со сдвигом по фазе относительно смещения и ускорения.

• В крайних точках ($x = \pm A$) тело на мгновение останавливается, чтобы изменить направление движения, поэтому его скорость равна нулю. Именно в этих точках сила и ускорение максимальны по модулю.

• При прохождении положения равновесия ($x=0$), где сила и ускорение равны нулю, скорость тела максимальна по модулю ($|v|_{max}$). Это логично, так как на пути к центру равновесия тело разгоняется под действием возвращающей силы.

Таким образом, скорость изменяется по гармоническому закону (синусоидально, если смещение меняется по косинусу), но со сдвигом фазы на $\pi/2$ ($90^\circ$) относительно смещения. Скорость максимальна, когда смещение и ускорение равны нулю, и наоборот.

Ответ: Скорость изменяется по гармоническому закону. Она равна нулю в крайних точках отклонения и достигает максимального значения по модулю при прохождении положения равновесия.

1. На рисунке 110 показан график зависимости координаты колеблющегося пружинного маятника от времени. Каким способом маятнику был сообщён начальный запас энергии? Как изменится график, если тем же способом сообщить этому маятнику больший начальный запас энергии?

Дано:

График зависимости координаты пружинного маятника от времени $x(t)$. Из графика можно определить:

Амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия): $A = 0,06$ м.

Период колебаний (время одного полного колебания): $T = 1$ с.

Начальная координата (при $t=0$): $x(0) = 0$ м.

Найти:

1. Способ, которым маятнику был сообщён начальный запас энергии.

2. Как изменится график, если сообщить маятнику больший начальный запас энергии тем же способом.

Решение:

Из графика видно, что в начальный момент времени ($t=0$) координата маятника равна нулю ($x=0$). Это означает, что колебания начинаются из положения равновесия. В положении равновесия потенциальная энергия деформированной пружины равна нулю. Следовательно, вся начальная энергия маятника была кинетической. Чтобы сообщить маятнику кинетическую энергию в положении равновесия, ему необходимо было придать начальную скорость, то есть совершить толчок.

Полная механическая энергия пружинного маятника определяется по формуле: $E = \frac{kA^2}{2}$, где $k$ – жёсткость пружины, $A$ – амплитуда колебаний. Если сообщить маятнику больший начальный запас энергии ($E'$ > $E$), то его амплитуда колебаний также увеличится ($A'$ > $A$), так как $A = \sqrt{\frac{2E}{k}}$.

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, где $m$ – масса груза, а $k$ – жёсткость пружины. Эта формула показывает, что период колебаний пружинного маятника не зависит от его энергии и амплитуды (при условии, что колебания являются гармоническими). Поэтому при сообщении большей энергии период колебаний не изменится.

Таким образом, на новом графике максимальное отклонение (амплитуда) будет больше 0,06 м, а период колебаний останется равным 1 с. График "растянется" вдоль оси ординат (оси $x$), но не изменится вдоль оси абсцисс (оси $t$).

Ответ: Начальный запас энергии был сообщён маятнику путём толчка в положении равновесия. Если сообщить маятнику больший запас энергии тем же способом, амплитуда его колебаний увеличится, а период колебаний не изменится.

2. а) Можно ли сказать, что частота малых собственных колебаний математического маятника обратно пропорциональна длине нити;

Решение:

Период малых собственных колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ – длина нити, а $g$ – ускорение свободного падения. Частота колебаний $\nu$ связана с периодом соотношением $\nu = \frac{1}{T}$. Подставив формулу для периода, получим выражение для частоты: $\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$. Из этой формулы видно, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити ($\nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$), а не самой длине нити.

Ответ: Нет, нельзя. Частота малых собственных колебаний математического маятника обратно пропорциональна не длине нити, а квадратному корню из длины нити.

2. б) Можно ли сказать, что квадрат периода малых собственных колебаний математического маятника прямо пропорционален длине нити;

Решение:

Воспользуемся формулой для периода малых собственных колебаний математического маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Возведём обе части этого равенства в квадрат: $T^2 = \left(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\right)^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$. Это выражение можно переписать в виде $T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{g}\right)l$. Так как множитель $\frac{4\pi^2}{g}$ является постоянной величиной (для данной точки на Земле), то квадрат периода колебаний $T^2$ прямо пропорционален длине нити $l$.

Ответ: Да, можно. Квадрат периода малых собственных колебаний математического маятника прямо пропорционален длине нити.

2. Можно ли сказать, что: а) частота малых собственных колебаний математического маятника обратно пропорциональна длине нити; б) квадрат периода малых собственных колебаний пружинного маятника прямо пропорционален массе груза?

а) Решение

Для анализа зависимости частоты колебаний математического маятника от длины нити воспользуемся соответствующими физическими формулами. Период $T$ малых собственных колебаний математического маятника определяется формулой:$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$где $l$ – это длина нити, а $g$ – ускорение свободного падения.

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду колебаний $T$:$\nu = \frac{1}{T}$

Подставив в эту формулу выражение для периода $T$, получим формулу для частоты:$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Из полученного выражения видно, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити ($\nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$), а не самой длине нити $l$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, нельзя. Частота малых собственных колебаний математического маятника обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити.

б) Решение

Проанализируем зависимость периода колебаний пружинного маятника от массы груза. Период $T$ малых собственных колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$где $m$ – это масса груза, а $k$ – жесткость пружины.

Чтобы проверить утверждение о пропорциональности квадрата периода ($T^2$) массе груза ($m$), возведем обе части формулы для периода в квадрат:$T^2 = \left(2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\right)^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{m}{k} = \frac{4\pi^2}{k}m$

В полученном уравнении $T^2 = \frac{4\pi^2}{k}m$ множитель $\frac{4\pi^2}{k}$ является константой для данной пружины, так как $4$, $\pi$ и жесткость $k$ – постоянные величины. Обозначив эту константу как $C = \frac{4\pi^2}{k}$, мы получаем зависимость вида $T^2 = C \cdot m$. Это и есть определение прямой пропорциональности. Таким образом, квадрат периода колебаний прямо пропорционален массе груза.

Ответ: да, можно. Квадрат периода малых собственных колебаний пружинного маятника прямо пропорционален массе груза.

1. Определите период, частоту и амплитуду колебаний по графику зависимости x(t), приведённому на рисунке 110.

Для решения данной задачи необходим график зависимости координаты от времени $x(t)$ (рисунок 110), который не был предоставлен. Поскольку график отсутствует, невозможно дать численный ответ. Ниже приводится общий метод решения подобных задач.

Дано:

График зависимости $x(t)$.

Найти:

Амплитуда $A$ - ?

Период $T$ - ?

Частота $\nu$ - ?

Решение:

Сначала определим амплитуду ($A$). Амплитуда — это модуль максимального смещения колеблющегося тела от положения равновесия. На графике $x(t)$ это максимальное значение координаты $x$, которое достигается телом. Чтобы найти амплитуду, нужно определить по вертикальной оси (оси $x$) наибольшее значение, до которого доходит кривая. Это значение будет равно амплитуде.

$A = x_{max}$

Далее определим период ($T$). Период — это время, за которое совершается одно полное колебание. На графике это промежуток времени между двумя последовательными точками, находящимися в одной и той же фазе. Проще всего определить период как время между двумя соседними максимумами (пиками) или двумя соседними минимумами (впадинами). Для этого нужно найти на горизонтальной оси (оси времени $t$) моменты времени, соответствующие этим точкам ($t_1$ и $t_2$), и вычислить их разность:

$T = t_2 - t_1$

Наконец, найдем частоту ($\nu$). Частота — это число полных колебаний в единицу времени. Она связана с периодом обратной зависимостью. Найдя период $T$ из графика, частоту можно рассчитать по формуле:

$\nu = \frac{1}{T}$

Единицей измерения частоты является Герц (Гц).

Ответ: Для получения числовых значений необходим сам график. Амплитуда $A$ определяется как максимальное значение координаты по оси $x$. Период $T$ определяется как время одного полного колебания, измеренное по оси времени $t$. Частота $\nu$ вычисляется как величина, обратная периоду, по формуле $\nu = \frac{1}{T}$.

2. Как и во сколько раз нужно изменить длину нити, чтобы увеличить период колебаний математического маятника в 2 раза?

Дано:

$ \frac{T_2}{T_1} = 2 $

Найти:

$ \frac{l_2}{l_1} - ? $

Решение:

Период колебаний математического маятника $ T $ связан с его длиной $ l $ и ускорением свободного падения $ g $ формулой Гюйгенса:

$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $

Из этой формулы видно, что период колебаний $ T $ прямо пропорционален квадратному корню из длины нити $ \sqrt{l} $.

Запишем формулы для начального периода $ T_1 $ при длине нити $ l_1 $ и конечного периода $ T_2 $ при длине нити $ l_2 $:

$ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} $

$ T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} $

Чтобы найти, во сколько раз нужно изменить длину нити, составим отношение периодов:

$ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} $

Сократим одинаковые множители $ 2\pi $ и $ \sqrt{g} $:

$ \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} $

Теперь выразим отношение длин $ \frac{l_2}{l_1} $, возведя обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 $

По условию задачи, период должен увеличиться в 2 раза, то есть $ \frac{T_2}{T_1} = 2 $. Подставим это значение в наше уравнение:

$ \frac{l_2}{l_1} = 2^2 = 4 $

Это означает, что конечная длина нити $ l_2 $ должна быть в 4 раза больше начальной длины $ l_1 $. Следовательно, длину нити нужно увеличить.

Ответ: чтобы увеличить период колебаний математического маятника в 2 раза, длину нити нужно увеличить в 4 раза.

3. Заменив пружину в опыте по изучению колебаний пружинного маятника, мальчик получил период колебаний в 2 раза меньше. Что можно сказать о жёсткости второй пружины по сравнению с первой?

Дано:

$T_1$ — период колебаний с первой пружиной

$k_1$ — жёсткость первой пружины

$T_2$ — период колебаний со второй пружиной

$k_2$ — жёсткость второй пружины

$m$ — масса груза (не изменяется)

По условию, период уменьшился в 2 раза, значит: $T_2 = \frac{T_1}{2}$

Найти:

Отношение жёсткости второй пружины к первой, $\frac{k_2}{k_1}$

Решение:

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $T$ — период колебаний, $m$ — масса груза, а $k$ — жёсткость пружины.

Запишем выражения для периода колебаний для первого и второго случая.

Для первой пружины:

$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Для второй пружины:

$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$

Поскольку нам известно соотношение между периодами ($T_2 = \frac{T_1}{2}$), подставим в него выражения для $T_1$ и $T_2$:

$2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} \right)$

Сократим общий множитель $2\pi$ в обеих частях уравнения:

$\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Чтобы избавиться от знаков квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

$\left(\sqrt{\frac{m}{k_2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k_1}}\right)^2$

$\frac{m}{k_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{k_1}$

Масса груза $m$ в ходе эксперимента не менялась и не равна нулю, поэтому мы можем сократить её:

$\frac{1}{k_2} = \frac{1}{4k_1}$

Из этого соотношения выразим $k_2$:

$k_2 = 4k_1$

Это означает, что жёсткость второй пружины в 4 раза больше жёсткости первой.

Ответ: Жёсткость второй пружины в 4 раза больше, чем жёсткость первой.