Номер 3, страница 155 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 30. § 31. Гармонические колебания. Глава 2. Механические колебания и волны. Звук - номер 3, страница 155.

3. Заменив пружину в опыте по изучению колебаний пружинного маятника, мальчик получил период колебаний в 2 раза меньше. Что можно сказать о жёсткости второй пружины по сравнению с первой?

Дано:

$T_1$ — период колебаний с первой пружиной

$k_1$ — жёсткость первой пружины

$T_2$ — период колебаний со второй пружиной

$k_2$ — жёсткость второй пружины

$m$ — масса груза (не изменяется)

По условию, период уменьшился в 2 раза, значит: $T_2 = \frac{T_1}{2}$

Найти:

Отношение жёсткости второй пружины к первой, $\frac{k_2}{k_1}$

Решение:

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $T$ — период колебаний, $m$ — масса груза, а $k$ — жёсткость пружины.

Запишем выражения для периода колебаний для первого и второго случая.

Для первой пружины:

$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Для второй пружины:

$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$

Поскольку нам известно соотношение между периодами ($T_2 = \frac{T_1}{2}$), подставим в него выражения для $T_1$ и $T_2$:

$2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} \right)$

Сократим общий множитель $2\pi$ в обеих частях уравнения:

$\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Чтобы избавиться от знаков квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

$\left(\sqrt{\frac{m}{k_2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k_1}}\right)^2$

$\frac{m}{k_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{k_1}$

Масса груза $m$ в ходе эксперимента не менялась и не равна нулю, поэтому мы можем сократить её:

$\frac{1}{k_2} = \frac{1}{4k_1}$

Из этого соотношения выразим $k_2$:

$k_2 = 4k_1$

Это означает, что жёсткость второй пружины в 4 раза больше жёсткости первой.

Ответ: Жёсткость второй пружины в 4 раза больше, чем жёсткость первой.