Номер 1, страница 155 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Обсуди с товарищами. § 31. Гармонические колебания. Глава 2. Механические колебания и волны. Звук - номер 1, страница 155.

1. На рисунке 110 показан график зависимости координаты колеблющегося пружинного маятника от времени. Каким способом маятнику был сообщён начальный запас энергии? Как изменится график, если тем же способом сообщить этому маятнику больший начальный запас энергии?

Дано:

График зависимости координаты пружинного маятника от времени $x(t)$. Из графика можно определить:

Амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия): $A = 0,06$ м.

Период колебаний (время одного полного колебания): $T = 1$ с.

Начальная координата (при $t=0$): $x(0) = 0$ м.

Найти:

1. Способ, которым маятнику был сообщён начальный запас энергии.

2. Как изменится график, если сообщить маятнику больший начальный запас энергии тем же способом.

Решение:

Из графика видно, что в начальный момент времени ($t=0$) координата маятника равна нулю ($x=0$). Это означает, что колебания начинаются из положения равновесия. В положении равновесия потенциальная энергия деформированной пружины равна нулю. Следовательно, вся начальная энергия маятника была кинетической. Чтобы сообщить маятнику кинетическую энергию в положении равновесия, ему необходимо было придать начальную скорость, то есть совершить толчок.

Полная механическая энергия пружинного маятника определяется по формуле: $E = \frac{kA^2}{2}$, где $k$ – жёсткость пружины, $A$ – амплитуда колебаний. Если сообщить маятнику больший начальный запас энергии ($E'$ > $E$), то его амплитуда колебаний также увеличится ($A'$ > $A$), так как $A = \sqrt{\frac{2E}{k}}$.

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, где $m$ – масса груза, а $k$ – жёсткость пружины. Эта формула показывает, что период колебаний пружинного маятника не зависит от его энергии и амплитуды (при условии, что колебания являются гармоническими). Поэтому при сообщении большей энергии период колебаний не изменится.

Таким образом, на новом графике максимальное отклонение (амплитуда) будет больше 0,06 м, а период колебаний останется равным 1 с. График "растянется" вдоль оси ординат (оси $x$), но не изменится вдоль оси абсцисс (оси $t$).

Ответ: Начальный запас энергии был сообщён маятнику путём толчка в положении равновесия. Если сообщить маятнику больший запас энергии тем же способом, амплитуда его колебаний увеличится, а период колебаний не изменится.

2. а) Можно ли сказать, что частота малых собственных колебаний математического маятника обратно пропорциональна длине нити;

Решение:

Период малых собственных колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ – длина нити, а $g$ – ускорение свободного падения. Частота колебаний $\nu$ связана с периодом соотношением $\nu = \frac{1}{T}$. Подставив формулу для периода, получим выражение для частоты: $\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$. Из этой формулы видно, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити ($\nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$), а не самой длине нити.

Ответ: Нет, нельзя. Частота малых собственных колебаний математического маятника обратно пропорциональна не длине нити, а квадратному корню из длины нити.

2. б) Можно ли сказать, что квадрат периода малых собственных колебаний математического маятника прямо пропорционален длине нити;

Решение:

Воспользуемся формулой для периода малых собственных колебаний математического маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Возведём обе части этого равенства в квадрат: $T^2 = \left(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\right)^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$. Это выражение можно переписать в виде $T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{g}\right)l$. Так как множитель $\frac{4\pi^2}{g}$ является постоянной величиной (для данной точки на Земле), то квадрат периода колебаний $T^2$ прямо пропорционален длине нити $l$.

Ответ: Да, можно. Квадрат периода малых собственных колебаний математического маятника прямо пропорционален длине нити.