Номер 4, страница 155 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Ответь на вопросы. § 31. Гармонические колебания. Глава 2. Механические колебания и волны. Звук - номер 4, страница 155.

4. Что представляет собой модель математического маятника?

4. Что представляет собой модель математического маятника?

Математический маятник — это идеализированная физическая модель, которая используется для описания колебаний реального маятника в условиях, когда многие факторы можно считать пренебрежимо малыми. Эта модель состоит из следующих элементов:

• Материальная точка: Тело, подвешенное на нити, рассматривается как точка, обладающая массой $m$, но не имеющая размеров. Это допущение справедливо, если размеры тела значительно меньше длины подвеса.
• Невесомая и нерастяжимая нить: Нить, на которой подвешена материальная точка, считается не имеющей массы и не изменяющей свою длину $l$ в процессе колебаний.
• Отсутствие трения: Предполагается, что колебания происходят без сопротивления воздуха и без трения в точке подвеса.
• Движение под действием силы тяжести: Единственной силой, вызывающей возвращение маятника в положение равновесия (возвращающей силой), является составляющая силы тяжести.

Такая идеализация позволяет получить простое дифференциальное уравнение движения маятника: $ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 $, где $\theta$ — угол отклонения от вертикали, $g$ — ускорение свободного падения, $l$ — длина нити. Эта модель является фундаментальной для изучения колебательных процессов.

Ответ: Модель математического маятника представляет собой материальную точку массой $m$, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$ в однородном поле силы тяжести, колебания которой рассматриваются без учета сил трения и сопротивления среды.

5. При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим?

Колебания называются гармоническими, если они описываются законом синуса или косинуса, что соответствует уравнению вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. Это происходит, когда возвращающая сила прямо пропорциональна смещению от положения равновесия и направлена к нему: $F = -kx$.

Для нитяного маятника возвращающая сила, которая стремится вернуть маятник в нижнее положение (положение равновесия), является тангенциальной составляющей силы тяжести: $F_{\tau} = -mg \sin\theta$, где $m$ — масса груза, $g$ — ускорение свободного падения, а $\theta$ — угол отклонения нити от вертикали.

Чтобы колебания были близки к гармоническим, сила $F_{\tau}$ должна быть пропорциональна смещению. Смещение маятника вдоль дуги траектории равно $s = l\theta$, где $l$ — длина нити. Таким образом, требуется, чтобы $\sin\theta$ было примерно равно $\theta$ (в радианах). Это условие выполняется для малых углов отклонения (так называемое малоугловое приближение).

Следовательно, для того чтобы реальный нитяной маятник совершал колебания, близкие к гармоническим, должны выполняться следующие условия:

• Малый угол отклонения: Амплитуда колебаний должна быть небольшой. На практике считают, что угол отклонения не должен превышать 5-7 градусов. При этом условии $\sin\theta \approx \theta$, и возвращающая сила становится приблизительно пропорциональной смещению: $F_{\tau} \approx -mg\theta = -\frac{mg}{l}s$.
• Пренебрежимо малое трение: Силы сопротивления воздуха и трение в точке подвеса должны быть очень малыми по сравнению с силой тяжести. В противном случае колебания будут затухающими, а не гармоническими.
• Свойства маятника, близкие к идеальной модели: Чтобы реальный маятник вел себя как математический, необходимо, чтобы:
  • масса нити была значительно меньше массы груза;
  • нить была практически нерастяжимой;
  • размеры груза были значительно меньше длины нити.

Ответ: Колебания реального нитяного маятника будут близки к гармоническим при условии, что амплитуда его колебаний мала (угол отклонения не превышает 5–7°), а силы трения и сопротивления воздуха пренебрежимо малы.