Страница 151 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Маятник совершает 30 колебаний в минуту. Определите период и частоту колебаний.

Дано:

Число колебаний, N = 30

Промежуток времени, t = 1 мин

Перевод в систему СИ:

t = 1 · 60 с = 60 с

Найти:

Период колебаний, T — ?

Частоту колебаний, ν — ?

Решение:

Период колебаний

Период колебаний (T) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Для его нахождения необходимо разделить общую продолжительность колебаний (t) на число колебаний (N), произошедших за это время.

Расчетная формула для периода:

$T = \frac{t}{N}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи:

$T = \frac{60 \text{ с}}{30} = 2 \text{ с}$

Ответ: период колебаний маятника равен 2 с.

Частота колебаний

Частота колебаний (ν) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Для ее нахождения необходимо разделить число колебаний (N) на промежуток времени (t), в течение которого они совершались.

Расчетная формула для частоты:

$ν = \frac{N}{t}$

Подставим в формулу числовые значения:

$ν = \frac{30}{60 \text{ с}} = 0,5 \text{ Гц}$

Частота и период являются взаимно обратными величинами ($ν = 1/T$), что можно использовать для проверки правильности расчетов:

$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0,5 \text{ Гц}$

Значения, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: частота колебаний маятника равна 0,5 Гц.

5. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 3 см. Какой путь от положения равновесия пройдёт груз за время, равное $\frac{1}{4}$T; $\frac{1}{2}$T; $\frac{3}{4}$T; Т?

Дано:

Амплитуда колебаний $A = 3 \text{ см}$

Промежутки времени: $t_1 = \frac{1}{4}T$, $t_2 = \frac{1}{2}T$, $t_3 = \frac{3}{4}T$, $t_4 = T$

Начальное положение: положение равновесия.

Перевод в СИ:

$A = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Путь $S$, пройденный грузом за каждый из указанных промежутков времени.

Решение:

Путь, пройденный телом при гармонических колебаниях, — это длина траектории, которую описывает тело. Он отличается от перемещения, которое является вектором, соединяющим начальную и конечную точки. В задаче требуется найти именно путь.

За один полный период колебаний ($T$) тело проходит путь, равный четырем амплитудам ($4A$). Это можно разбить на четыре этапа по четверти периода каждый:

• Из положения равновесия до одного крайнего положения (путь $A$ за время $\frac{T}{4}$).
• От крайнего положения обратно до положения равновесия (путь $A$ за время $\frac{T}{4}$).
• От положения равновесия до другого крайнего положения (путь $A$ за время $\frac{T}{4}$).
• От другого крайнего положения обратно до положения равновесия (путь $A$ за время $\frac{T}{4}$).

Поскольку по условию движение начинается из положения равновесия, мы можем рассчитать путь для каждого интервала времени.

$\frac{1}{4}T$

За время, равное четверти периода, груз перемещается из положения равновесия в крайнее положение (точку максимального отклонения). Пройденный им путь равен одной амплитуде.

$S_1 = A = 3 \text{ см}$.

Ответ: 3 см.

$\frac{1}{2}T$

За время, равное половине периода, груз перемещается из положения равновесия в крайнее положение и возвращается обратно в положение равновесия. Пройденный путь равен сумме путей за две четверти периода, то есть двум амплитудам.

$S_2 = A + A = 2A = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.

$\frac{3}{4}T$

За время, равное трем четвертям периода, груз перемещается из положения равновесия в одно крайнее положение, возвращается в положение равновесия и продолжает движение до другого крайнего положения. Пройденный путь равен трем амплитудам.

$S_3 = A + A + A = 3A = 3 \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Ответ: 9 см.

$T$

За время, равное одному полному периоду, груз совершает одно полное колебание: из положения равновесия в одно крайнее положение, обратно через положение равновесия в другое крайнее положение и снова возвращается в исходное положение равновесия. Пройденный путь равен четырем амплитудам.

$S_4 = A + A + A + A = 4A = 4 \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: 12 см.

6. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 10 см, частота — 0,5 Гц. Какой путь пройдёт груз за 2 с?

Дано:

Амплитуда $A = 10$ см

Частота $\nu = 0,5$ Гц

Время $t = 2$ с

Перевод в СИ:

$A = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Путь $S$ - ?

Решение:

За один полный период колебаний тело проходит путь, равный четырем амплитудам. Это происходит, когда тело движется от положения равновесия до одного крайнего положения (путь равен $A$), затем обратно до положения равновесия (путь $A$), далее до другого крайнего положения (путь $A$) и, наконец, возвращается в положение равновесия (путь $A$).

Таким образом, путь, пройденный за одно полное колебание ($S_0$), равен:

$S_0 = 4A$

Чтобы найти общий путь, необходимо определить, сколько полных колебаний ($N$) совершит груз за заданное время $t$. Количество колебаний можно найти по формуле:

$N = \nu \cdot t$

Подставим известные значения:

$N = 0,5 \text{ Гц} \cdot 2 \text{ с} = 1$

За 2 секунды груз совершит ровно одно полное колебание.

Также можно было найти период колебаний $T$ (время одного полного колебания):

$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{0,5 \text{ Гц}} = 2 \text{ с}$

Так как время наблюдения $t=2$ с равно периоду колебаний $T=2$ с, груз совершает ровно одно полное колебание.

Теперь можем рассчитать общий путь $S$ как произведение числа колебаний на путь за одно колебание:

$S = N \cdot S_0 = N \cdot 4A$

Подставим значения в СИ:

$S = 1 \cdot 4 \cdot 0,1 \text{ м} = 0,4 \text{ м}$

Ответ: 0,4 м.

Изготовьте два одинаковых нитяных маятника. Проверьте, что при отклонении на один и тот же угол их периоды колебаний одинаковы. Уменьшите длину нити одного из маятников на 20% и определите, во сколько раз теперь различаются периоды колебаний.

Данное задание состоит из двух частей. Первая часть — это качественная проверка утверждения, а вторая — расчётная задача.

Сначала рассмотрим утверждение о том, что два одинаковых нитяных маятника имеют одинаковые периоды колебаний. Период колебаний математического маятника (моделью которого является нитяной маятник при малых углах отклонения) определяется формулой Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ где $l$ — это длина нити, а $g$ — ускорение свободного падения.

Из формулы видно, что период колебаний зависит только от длины нити и местного ускорения свободного падения. Он не зависит от массы груза и амплитуды колебаний (при условии, что угол отклонения мал). Поскольку в условии сказано, что маятники одинаковые, это означает, что их длины равны ($l_1 = l_2$). Так как оба маятника находятся в одном и том же месте, ускорение свободного падения $g$ для них также одинаково. Следовательно, их периоды колебаний $T_1$ и $T_2$ обязательно будут равны.

Теперь перейдём ко второй части задания, в которой требуется определить, во сколько раз будут различаться периоды колебаний, если длину нити одного из маятников уменьшить на 20%.

Дано:

Длина первого маятника: $l_1 = l$.

Длина второго маятника уменьшена на 20%.

Найти:

Отношение периодов колебаний маятников $\frac{T_1}{T_2'}$.

Решение:

Период первого маятника, длина которого не изменилась, равен: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Найдём новую длину второго маятника, $l_2'$. Уменьшение на 20% от первоначальной длины $l$ означает, что новая длина составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от старой. $l_2' = l - 0.20 \cdot l = 0.80 \cdot l$

Теперь вычислим новый период колебаний второго маятника, $T_2'$: $T_2' = 2\pi\sqrt{\frac{l_2'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.80 \cdot l}{g}}$

Чтобы определить, во сколько раз различаются периоды, найдем их отношение. Поскольку длина первого маятника больше длины второго ($l_1 > l_2'$), его период также будет больше ($T_1 > T_2'$). Найдём отношение большего периода к меньшему: $\frac{T_1}{T_2'} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{0.80 \cdot l}{g}}}$

Сократив одинаковые множители ($2\pi$, $\sqrt{g}$ и $\sqrt{l}$), получим выражение: $\frac{T_1}{T_2'} = \sqrt{\frac{l}{0.80 \cdot l}} = \sqrt{\frac{1}{0.80}} = \sqrt{1.25}$

Вычислим значение полученного корня: $\sqrt{1.25} \approx 1.11803...$

Округлив результат до сотых, получаем, что периоды будут различаться примерно в 1,12 раза.

Ответ: После уменьшения длины нити одного из маятников на 20% их периоды колебаний будут различаться примерно в 1,12 раза (период маятника с большей длиной будет больше).