Номер 3, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 31. § 32. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Глава 2. Механические колебания и волны. Звук - номер 3, страница 159.

3. Шарик, подвешенный на нити, отклонили от положения равновесия так, что его высота над землёй увеличилась на 5 см, после чего он начал совершать колебания. С какой скоростью шарик в четвёртый раз пройдёт положение равновесия, если его колебания можно считать незатухающими?

Дано:

$\Delta h = 5 \text{ см}$

$\Delta h = 0.05 \text{ м}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v$ - ?

Решение:

В задаче указано, что колебания шарика можно считать незатухающими. Это означает, что полная механическая энергия системы (шарик и поле тяготения Земли) сохраняется. Полная механическая энергия $E$ складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Рассмотрим два положения шарика:

1. В точке максимального отклонения. Шарик отклонили так, что его высота увеличилась на $\Delta h = 0.05 \text{ м}$. В этой крайней точке его скорость на мгновение равна нулю ($v_1=0$). Вся механическая энергия является потенциальной. Примем положение равновесия за нулевой уровень высоты ($h=0$). Тогда в точке максимального отклонения высота шарика равна $h_1 = \Delta h$.

$E_1 = \frac{m \cdot 0^2}{2} + mg\Delta h = mg\Delta h$

2. В положении равновесия. В этой точке (самой нижней точке траектории) высота шарика над нулевым уровнем равна нулю ($h_2 = 0$), а скорость максимальна. Обозначим эту скорость как $v$. Вся механическая энергия является кинетической.

$E_2 = \frac{mv^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv^2}{2}$

По закону сохранения энергии, энергия в первом положении равна энергии во втором положении ($E_1=E_2$):

$mg\Delta h = \frac{mv^2}{2}$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$g\Delta h = \frac{v^2}{2}$

Отсюда выразим искомую скорость $v$:

$v^2 = 2g\Delta h$

$v = \sqrt{2g\Delta h}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.05 \text{ м}} = \sqrt{1 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Условие о том, что шарик проходит положение равновесия в четвертый раз, не влияет на результат, так как при незатухающих колебаниях скорость в положении равновесия будет одинаковой при каждом его прохождении.

Ответ: скорость шарика при прохождении положения равновесия равна $1 \text{ м/с}$.