Номер 4, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 31. § 32. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Глава 2. Механические колебания и волны. Звук - номер 4, страница 159.

4. Подвешенному на нити шарику сообщили в горизонтальном направлении скорость 1 м/с, после чего он начал совершать затухающие колебания. Через пять полных колебаний энергия системы уменьшилась в 2 раза. Чему равна скорость шарика в этот момент?

Дано:

Начальная скорость шарика, $v_1 = 1 \text{ м/с}$

Уменьшение энергии, $\frac{E_1}{E_2} = 2$

Количество колебаний, $N = 5$

Найти:

Скорость шарика после пяти колебаний, $v_2$

Решение:

В начальный момент времени шарику сообщают скорость в положении равновесия (самой нижней точке траектории). В этой точке потенциальная энергия шарика минимальна, и мы можем принять ее равной нулю. Таким образом, полная механическая энергия системы в начальный момент времени $E_1$ равна его кинетической энергии $E_{k1}$:

$E_1 = E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2}$

где $m$ - масса шарика, а $v_1$ - его начальная скорость.

Колебания являются затухающими, что означает, что полная механическая энергия системы со временем уменьшается из-за сил сопротивления.

По условию, через пять полных колебаний шарик снова проходит положение равновесия. В этот момент его полная механическая энергия $E_2$ также равна его кинетической энергии $E_{k2}$, так как потенциальная энергия снова равна нулю:

$E_2 = E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$

где $v_2$ - скорость шарика в положении равновесия после пяти колебаний.

По условию задачи, через пять полных колебаний энергия системы уменьшилась в 2 раза. Это означает, что:

$E_2 = \frac{E_1}{2}$ или $E_1 = 2E_2$

Подставим выражения для энергий в это соотношение:

$\frac{mv_1^2}{2} = 2 \cdot \frac{mv_2^2}{2}$

Сократим массу $m$ и множитель $\frac{1}{2}$ в обеих частях уравнения:

$v_1^2 = 2v_2^2$

Выразим искомую скорость $v_2$:

$v_2^2 = \frac{v_1^2}{2}$

$v_2 = \sqrt{\frac{v_1^2}{2}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$

Теперь подставим числовое значение начальной скорости $v_1 = 1 \text{ м/с}$:

$v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071 \text{ м/с}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: скорость шарика в этот момент равна $\frac{1}{\sqrt{2}} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $0.71 \text{ м/с}$.