Номер 3, страница 67 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 15. Движение искусственных спутников Земли. Задание 14 - номер 3, страница 67.

Условие.

3*. На каком расстоянии от Земли сила притяжения тела к Земле равна силе притяжения этого тела к Луне?

Решение.

Дано:

$M_З$ - масса Земли $\approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг

$M_Л$ - масса Луны $\approx 7.35 \cdot 10^{22}$ кг

$\text{R}$ - среднее расстояние между центрами Земли и Луны $\approx 3.84 \cdot 10^8$ м

$\text{G}$ - гравитационная постоянная $\approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н$\cdot$м$^2$/кг$^2$

Найти:

$r_З$ - расстояние от центра Земли до точки, где силы притяжения равны.

Решение:

Для того чтобы сила притяжения тела к Земле была равна силе его притяжения к Луне, это тело должно находиться на прямой, соединяющей центры Земли и Луны.

Пусть $\text{m}$ - масса тела. Пусть $r_З$ - искомое расстояние от центра Земли до этого тела. Тогда расстояние от центра Луны до тела будет $r_Л = R - r_З$, где $\text{R}$ - расстояние между центрами Земли и Луны.

Сила притяжения тела к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) определяются по закону всемирного тяготения:

$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{r_З^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{r_Л^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - r_З)^2}$

Согласно условию задачи, эти силы равны:

$F_З = F_Л$

Подставим выражения для сил:

$G \frac{M_З \cdot m}{r_З^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - r_З)^2}$

Сократим гравитационную постоянную $\text{G}$ и массу тела $\text{m}$, так как они присутствуют в обеих частях уравнения:

$\frac{M_З}{r_З^2} = \frac{M_Л}{(R - r_З)^2}$

Преобразуем уравнение, чтобы было удобнее его решать:

$\frac{(R - r_З)^2}{r_З^2} = \frac{M_Л}{M_З}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R - r_З}{r_З} = \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}$

Разделим левую часть почленно:

$\frac{R}{r_З} - 1 = \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}$

Отсюда выразим искомое расстояние $r_З$:

$\frac{R}{r_З} = 1 + \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}$

$r_З = \frac{R}{1 + \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}}$

Подставим числовые значения. Известно, что масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны, то есть $\frac{M_З}{M_Л} \approx 81$. Следовательно, $\frac{M_Л}{M_З} \approx \frac{1}{81}$.

$\sqrt{\frac{M_Л}{M_З}} \approx \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}$

Теперь можем рассчитать расстояние $r_З$:

$r_З = \frac{R}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{R}{\frac{10}{9}} = \frac{9R}{10}$

$r_З = 0.9 \cdot R = 0.9 \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м} \approx 3.46 \cdot 10^8 \text{ м}$

Это расстояние составляет примерно 346 000 км от центра Земли.

Ответ: Расстояние от Земли, на котором сила притяжения тела к Земле равна силе притяжения этого тела к Луне, составляет примерно $3.46 \cdot 10^8$ м (или 346 000 км) от центра Земли.