Номер 4, страница 67 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 15. Движение искусственных спутников Земли. Задание 14 - номер 4, страница 67.

Условие.

4. Чему должна быть равна первая космическая скорость для того, чтобы запустить с поверхности Марса его искусственный спутник? Радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, масса Марса – 0,11 массы Земли.

Решение.

Чему должна быть равна первая космическая скорость для того, чтобы запустить с поверхности Марса его искусственный спутник? Радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, масса Марса — 0,11 массы Земли.

Дано:

Радиус Марса $R_М = 0,53 R_З$
Масса Марса $M_М = 0,11 M_З$
Первая космическая скорость для Земли $v_З \approx 7,9$ км/с

Перевод в систему СИ:
$v_З \approx 7,9 \cdot 10^3$ м/с

Найти:

$v_М$ - ?

Решение:

Первая космическая скорость $\text{v}$ для планеты массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ определяется формулой, которая выводится из условия равенства силы всемирного тяготения и центростремительной силы для спутника на круговой орбите вблизи поверхности планеты:$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Запишем эту формулу для Земли и для Марса:

Первая космическая скорость для Земли: $v_З = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$

Первая космическая скорость для Марса: $v_М = \sqrt{\frac{G M_М}{R_М}}$

Теперь подставим в формулу для Марса соотношения его массы и радиуса с земными, которые даны в условии задачи:

$v_М = \sqrt{\frac{G \cdot (0,11 M_З)}{0,53 R_З}}$

Преобразуем выражение, вынеся числовые коэффициенты за знак дроби под корнем:

$v_М = \sqrt{\frac{0,11}{0,53} \cdot \frac{G M_З}{R_З}}$

Мы видим, что выражение $\sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$ является формулой для первой космической скорости Земли $v_З$. Таким образом, мы можем выразить первую космическую скорость для Марса через первую космическую скорость для Земли:

$v_М = v_З \cdot \sqrt{\frac{0,11}{0,53}}$

Подставим известное значение первой космической скорости для Земли ($v_З \approx 7,9$ км/с) и выполним вычисления:

$v_М \approx 7,9 \text{ км/с} \cdot \sqrt{\frac{0,11}{0,53}} \approx 7,9 \text{ км/с} \cdot \sqrt{0,2075} \approx 7,9 \text{ км/с} \cdot 0,4555 \approx 3,598$ км/с

Округлим полученный результат до двух значащих цифр, так как исходные данные представлены с такой же точностью.

$v_М \approx 3,6$ км/с

Ответ: первая космическая скорость для Марса должна быть равна примерно $3,6$ км/с.