Номер 4, страница 67 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 15. Движение искусственных спутников Земли. Вопросы для самопроверки - номер 4, страница 67.

Условие.

4. Какую скорость называют первой космической? Чему она равна?

Решение.

Какую скорость называют первой космической?

Первой космической скоростью (или круговой скоростью, $v_1$) называют минимальную скорость, которую необходимо сообщить телу на небольшой высоте над поверхностью планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. При этой скорости сила тяжести, действующая на тело, в точности равна центростремительной силе, необходимой для движения по окружности. Иными словами, тело, обладающее такой скоростью, постоянно "падает" на планету, но из-за своей горизонтальной скорости всё время "промахивается" мимо неё, оставаясь на постоянной высоте.

Ответ: Первой космической скоростью называют минимальную скорость, необходимую для вывода тела на круговую орбиту вблизи поверхности небесного тела (например, планеты).

Чему она равна?

Значение первой космической скорости можно найти, приравняв силу всемирного тяготения, действующую на спутник, к центростремительной силе, которая удерживает его на круговой орбите.

Дано:

Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2$

Средний радиус Земли, $R_З \approx 6371 \, \text{км}$

$R_З = 6371 \, \text{км} = 6,371 \times 10^6 \, \text{м}$

Найти:

$v_1$ - ?

Решение:

Рассмотрим спутник массой $\text{m}$, движущийся по круговой орбите радиусом $R_З$ со скоростью $v_1$ вокруг Земли массой $M_З$. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на спутник, равна произведению его массы на ускорение:

$F = ma$

В данном случае единственной силой является сила гравитационного притяжения $F_g$, а ускорение является центростремительным $a_ц$.

$F_g = m a_ц$

Сила гравитации выражается законом всемирного тяготения: $F_g = G \frac{M_З m}{R_З^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение: $a_ц = \frac{v_1^2}{R_З}$.

Приравняем выражения:

$G \frac{M_З m}{R_З^2} = \frac{m v_1^2}{R_З}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $R_З$ в знаменателе, получим формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$

Для удобства расчетов можно использовать другую формулу. Вспомним, что ускорение свободного падения у поверхности Земли определяется как $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Отсюда $G M_З = g R_З^2$. Подставим это в нашу формулу для скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{g R_З^2}{R_З}} = \sqrt{g R_З}$

Теперь подставим числовые значения, используя стандартные средние значения для радиуса Земли и ускорения свободного падения:

$v_1 = \sqrt{9,81 \, \text{м/с}^2 \cdot 6,371 \times 10^6 \, \text{м}} \approx \sqrt{62,5 \times 10^6 \, \text{м}^2/\text{с}^2} \approx 7905 \, \text{м/с}$

Переведем результат в километры в секунду:

$7905 \, \text{м/с} \approx 7,9 \, \text{км/с}$

Ответ: Первая космическая скорость для Земли вычисляется по формуле $v_1 = \sqrt{g R_З}$ и составляет приблизительно $7,9 \, \text{км/с}$.