Номер 3, страница 88 - гдз по физике 9 класс учебник Шахмаев, Бунчук

Глава 6. Силы в механике. Параграф 21. Искусственные спутники Земли - номер 3, страница 88.

Условие.

3. Какую скорость называют первой космической?

Решение.

3. Какую скорость называют первой космической?

Первой космической скоростью ($v_1$) называют минимальную скорость, которую необходимо сообщить телу в горизонтальном направлении у поверхности небесного тела (например, планеты), чтобы оно не упало на поверхность, а стало его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Эту скорость также называют круговой или орбитальной скоростью.

Чтобы тело двигалось по круговой орбите, сила гравитационного притяжения, действующая на него со стороны планеты, должна быть равна центростремительной силе, удерживающей его на этой орбите. Запишем это условие в виде уравнения.

Сила всемирного тяготения по закону Ньютона: $F_g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{m}$ — масса спутника, а $\text{R}$ — радиус орбиты (для низких орбит он примерно равен радиусу планеты).

Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности: $F_c = m \cdot a_c = \frac{m \cdot v_1^2}{R}$, где $a_c$ - центростремительное ускорение.

Приравнивая эти две силы ($F_g = F_c$), получаем:
$G \frac{M \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v_1^2}{R}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в уравнении, можно выразить первую космическую скорость:
$v_1^2 = \frac{GM}{R}$
$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Существует и другая, более удобная для расчетов формула. Ускорение свободного падения у поверхности планеты определяется как $g = G \frac{M}{R^2}$. Отсюда можно выразить произведение $GM = gR^2$. Подставив это в формулу для скорости, получим:
$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Для Земли, используя средние значения радиуса $R \approx 6.37 \times 10^6$ м и ускорения свободного падения $g \approx 9.8$ м/с², первая космическая скорость составляет:
$v_1 = \sqrt{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 6.37 \times 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{62.4 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 7900 \text{ м/с} \approx 7.9$ км/с.

Таким образом, любой объект, движущийся на небольшой высоте над поверхностью Земли с горизонтальной скоростью около 7.9 км/с, будет двигаться по круговой орбите, не приближаясь к Земле и не удаляясь от неё.

Ответ: Первой космической скоростью называют минимальную горизонтальную скорость, необходимую для вывода тела на круговую орбиту вокруг небесного тела. Она зависит от массы и радиуса небесного тела. Для Земли у её поверхности первая космическая скорость составляет примерно 7.9 км/с.