Номер 9, страница 127 - гдз по физике 9 класс учебник Шахмаев, Бунчук

Глава 8. Закон сохранения энергии. Параграф 29. Взаимосвязь работы и энергии - номер 9, страница 127.

Условие.

9. Почему работа силы тяжести по замкнутой траектории равна нулю? Докажите это.

Решение.

Работа силы тяжести по замкнутой траектории равна нулю, потому что сила тяжести является консервативной силой. Это означает, что работа, совершаемая этой силой при перемещении тела из одной точки в другую, не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела.

В случае замкнутой траектории начальная и конечная точки совпадают. Следовательно, тело возвращается в исходное положение. Поскольку работа силы тяжести зависит только от разности высот между начальной и конечной точками, а эта разность для замкнутой траектории равна нулю, то и сама работа равна нулю.

Докажите это.

Доказательство можно провести, используя понятие потенциальной энергии. Работа $\text{A}$ силы тяжести $\vec{F_т}$ при перемещении тела из точки 1 в точку 2 равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

$A_{1 \t°2} = -(E_{p2} - E_{p1}) = E_{p1} - E_{p2}$

где $E_{p1} = mgh_1$ и $E_{p2} = mgh_2$ – потенциальная энергия в начальной и конечной точках, $\text{m}$ – масса тела, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $h_1$ и $h_2$ – начальная и конечная высоты.

Замкнутая траектория означает, что тело возвращается в исходную точку. То есть, конечная точка 2 совпадает с начальной точкой 1. В этом случае конечная высота равна начальной: $h_2 = h_1$.

Следовательно, потенциальная энергия в конечной точке равна потенциальной энергии в начальной: $E_{p2} = E_{p1}$.

Подставим это условие в формулу для работы:

$A = E_{p1} - E_{p1} = 0$

Более строгое доказательство использует интегральное определение работы. Работа по замкнутому контуру $\text{L}$:

$A = \oint_L \vec{F_т} \cdot d\vec{l}$

Выберем систему координат, в которой ось $\text{y}$ направлена вертикально вверх. Тогда вектор силы тяжести $\vec{F_т} = (0, -mg, 0)$, а вектор элементарного перемещения $d\vec{l} = (dx, dy, dz)$. Их скалярное произведение равно: $\vec{F_т} \cdot d\vec{l} = -mg\,dy$.

Тогда работа:

$A = \oint_L -mg\,dy = -mg \oint_L dy$

Интеграл от полного дифференциала $dy$ по замкнутому контуру равен разности значений функции $\text{y}$ в конечной и начальной точках. Поскольку для замкнутого контура $y_{конечная} = y_{начальная}$, интеграл равен нулю.

$A = -mg \cdot (y_{конечная} - y_{начальная}) = -mg \cdot 0 = 0$

Таким образом, работа силы тяжести по любой замкнутой траектории равна нулю.

Ответ: Работа силы тяжести по замкнутой траектории равна нулю, потому что сила тяжести является консервативной (потенциальной). Работа такой силы равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком ($A = -\Delta E_p$). При движении по замкнутой траектории тело возвращается в исходную точку, поэтому его высота, а следовательно, и потенциальная энергия, не изменяются ($\Delta E_p = 0$). В результате работа силы тяжести оказывается равной нулю.