Номер 3, страница 78 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Параллакс Солнца $8.8''$, а видимый угловой радиус Солнца $= 16'01''$. Во сколько раз радиус Солнца больше радиуса Земли?

3. Дано:

Горизонтальный параллакс Солнца $p = 8,8''$

Видимый угловой радиус Солнца $\rho = 16'01''$

Перевод в СИ (радианы):
$1' = 60''$
$1'' = (\frac{1}{3600})^{\circ} = \frac{\pi}{180 \cdot 3600} \text{ рад} \approx 4,848 \cdot 10^{-6} \text{ рад}$
$p = 8,8'' = 8,8 \cdot 4,848 \cdot 10^{-6} \text{ рад} \approx 4,266 \cdot 10^{-5} \text{ рад}$
$\rho = 16'01'' = (16 \cdot 60 + 1)'' = 961'' = 961 \cdot 4,848 \cdot 10^{-6} \text{ рад} \approx 4,659 \cdot 10^{-3} \text{ рад}$

Найти:

Отношение радиуса Солнца к радиусу Земли, $\frac{R_{С}}{R_{З}}$

Решение:

Горизонтальный параллакс светила ($p$) — это угол, под которым со светила виден экваториальный радиус Земли ($R_{З}$), когда светило находится на горизонте. Для малых углов параллакс связан с расстоянием до светила ($D$) и радиусом Земли следующим соотношением:

$\sin p = \frac{R_{З}}{D}$

Видимый угловой радиус светила ($\rho$) — это угол, под которым с Земли виден радиус светила ($R_{С}$). Он связан с радиусом Солнца и расстоянием до него так:

$\sin \rho = \frac{R_{С}}{D}$

Поскольку углы $p$ и $\rho$ очень малы, можно использовать приближение для малых углов: $\sin \alpha \approx \alpha$, где угол $\alpha$ выражен в радианах. Тогда формулы принимают вид:

$p \approx \frac{R_{З}}{D}$

$\rho \approx \frac{R_{С}}{D}$

Из этих выражений можно найти искомое отношение радиусов, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{\rho}{p} = \frac{R_{С}/D}{R_{З}/D} = \frac{R_{С}}{R_{З}}$

Таким образом, чтобы найти, во сколько раз радиус Солнца больше радиуса Земли, достаточно разделить видимый угловой радиус Солнца на его горизонтальный параллакс. Важно, чтобы оба угла были выражены в одинаковых единицах.

Переведем видимый угловой радиус Солнца, заданный в минутах и секундах, полностью в угловые секунды:

$\rho = 16'01'' = 16 \text{ минут} + 1 \text{ секунда} = 16 \cdot 60'' + 1'' = 960'' + 1'' = 961''$

Теперь найдем отношение, подставив числовые значения:

$\frac{R_{С}}{R_{З}} = \frac{961''}{8,8''} \approx 109,2045...$

Округлим результат до одного знака после запятой, так как наименее точное данное ($8,8''$) имеет один знак после запятой.

$\frac{R_{С}}{R_{З}} \approx 109,2$

Ответ: радиус Солнца больше радиуса Земли примерно в 109,2 раза.