Номер 2, страница 78 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. Во сколько раз Солнце больше, чем Луна, если их угловые диаметры одинаковы, а горизонтальные параллаксы соответственно равны 8,8 и $57'$?

Дано:

Угловой диаметр Солнца равен угловому диаметру Луны: $ \alpha_С = \alpha_Л $.

Горизонтальный параллакс Солнца: $ p_С = 8,8'' $.

Горизонтальный параллакс Луны: $ p_Л = 57' $.

Перевод данных в систему СИ (радианы):

$ p_С = 8,8'' = 8,8 \times \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ рад} \approx 4,266 \times 10^{-5} \text{ рад} $.

$ p_Л = 57' = 57 \times 60'' = 3420'' = 3420 \times \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ рад} \approx 1,658 \times 10^{-2} \text{ рад} $.

Найти:

Отношение линейного диаметра Солнца ($ D_С $) к линейному диаметру Луны ($ D_Л $): $ \frac{D_С}{D_Л} $.

Решение:

Линейный диаметр небесного тела $ D $ связан с его угловым диаметром $ \alpha $ (выраженным в радианах) и расстоянием до него $ r $ по формуле для малых углов:

$ D \approx r \cdot \alpha $.

Запишем это соотношение для Солнца и для Луны:

$ D_С \approx r_С \cdot \alpha_С $

$ D_Л \approx r_Л \cdot \alpha_Л $

где $ r_С $ и $ r_Л $ — это расстояния от Земли до Солнца и до Луны соответственно.

Найдем отношение их линейных диаметров, разделив одно уравнение на другое:

$ \frac{D_С}{D_Л} = \frac{r_С \cdot \alpha_С}{r_Л \cdot \alpha_Л} $.

Из условия задачи мы знаем, что угловые диаметры Солнца и Луны одинаковы ($ \alpha_С = \alpha_Л $). Следовательно, этот член в уравнении сокращается:

$ \frac{D_С}{D_Л} = \frac{r_С}{r_Л} $.

Это означает, что во сколько раз Солнце больше Луны по размеру, во столько же раз оно дальше от Земли, чем Луна.

Расстояние до небесного тела $ r $ связано с его горизонтальным параллаксом $ p $ (в радианах) и экваториальным радиусом Земли $ R_\oplus $ следующим соотношением:

$ p \approx \frac{R_\oplus}{r} $, откуда следует, что $ r \approx \frac{R_\oplus}{p} $.

Подставим это выражение для расстояний в наше отношение диаметров:

$ \frac{D_С}{D_Л} = \frac{r_С}{r_Л} = \frac{R_\oplus / p_С}{R_\oplus / p_Л} = \frac{R_\oplus}{p_С} \cdot \frac{p_Л}{R_\oplus} = \frac{p_Л}{p_С} $.

Как видим, отношение линейных диаметров обратно пропорционально отношению их горизонтальных параллаксов. Для вычисления этого отношения можно использовать параллаксы в любых одинаковых единицах измерения. Приведем оба параллакса к угловым секундам ($''$).

В одной угловой минуте ($'$) содержится 60 угловых секунд ($''$).

$ p_Л = 57' = 57 \times 60'' = 3420'' $.

Горизонтальный параллакс Солнца уже дан в угловых секундах: $ p_С = 8,8'' $.

Теперь можем вычислить искомое отношение:

$ \frac{D_С}{D_Л} = \frac{3420''}{8,8''} \approx 388,636... $

Округлим полученный результат с учетом точности исходных данных (две значащие цифры в каждом значении).

$ \frac{D_С}{D_Л} \approx 390 $.

Ответ: Солнце больше Луны по диаметру примерно в 390 раз.