Номер 1, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

1. Докажите, что вес автомобиля при прохождении выпуклого моста равен $P = m\left(g - \frac{v^2}{R}\right)$ (рис. 113).

Рис. 113. Вес тела, движущегося по выпуклой поверхности, уменьшается

1. Решение

Для доказательства данной формулы рассмотрим автомобиль, который находится в самой верхней точке выпуклого моста. Мост можно рассматривать как часть окружности с радиусом кривизны $R$. Центр этой окружности находится под мостом.

На автомобиль в этот момент действуют две силы:

- Сила тяжести $\vec{F}_{т}$, направленная вертикально вниз. Ее модуль равен $F_{т} = mg$, где $m$ – масса автомобиля, а $g$ – ускорение свободного падения.

- Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, действующая со стороны моста на автомобиль и направленная вертикально вверх, перпендикулярно поверхности моста.

Поскольку автомобиль движется по криволинейной траектории со скоростью $v$, он обладает центростремительным ускорением $\vec{a}_c$. В верхней точке моста это ускорение направлено к центру кривизны, то есть вертикально вниз. Его модуль равен $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a}_c = \vec{F}_{т} + \vec{N}$

Запишем это уравнение в проекции на вертикальную ось OY, направленную вниз (вдоль направления центростремительного ускорения):

$ma_c = F_{т} - N$

Подставим модули сил и ускорения в это уравнение:

$m\frac{v^2}{R} = mg - N$

Вес тела $P$ – это сила, с которой тело (в данном случае, автомобиль) действует на опору (мост). Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой автомобиль давит на мост, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры, с которой мост действует на автомобиль. Таким образом, $P = N$.

Произведем замену $N$ на $P$ в полученном уравнении:

$m\frac{v^2}{R} = mg - P$

Теперь выразим из этого уравнения вес $P$:

$P = mg - m\frac{v^2}{R}$

Вынесем массу $m$ за скобки, чтобы получить итоговую формулу:

$P = m\left(g - \frac{v^2}{R}\right)$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Утверждение доказано. При движении по выпуклому мосту равнодействующая силы тяжести и силы реакции опоры сообщает телу центростремительное ускорение, направленное к центру кривизны (вниз). Из второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, следует: $mg - N = m\frac{v^2}{R}$. Вес автомобиля $P$ по третьему закону Ньютона равен по модулю силе реакции опоры $N$. Следовательно, $P = N = mg - m\frac{v^2}{R} = m\left(g - \frac{v^2}{R}\right)$.