Номер 2, страница 124 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 36 км/ч. Определите изменение импульса за одну четверть периода, половину периода, период.

Дано:

Масса материальной точки, $m = 1$ кг.

Скорость движения, $v = 36$ км/ч.

Перевод в систему СИ:

$v = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10$ м/с.

Найти:

Модуль изменения импульса за одну четверть периода, $|\Delta\vec{p}_{T/4}|$.

Модуль изменения импульса за половину периода, $|\Delta\vec{p}_{T/2}|$.

Модуль изменения импульса за период, $|\Delta\vec{p}_{T}|$.

Решение:

Импульс материальной точки — это векторная величина, определяемая формулой $\vec{p} = m\vec{v}$.

Так как точка движется равномерно по окружности, модуль её скорости $v$ и, следовательно, модуль её импульса $p=mv$ остаются постоянными.

Вычислим модуль импульса:

$p = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 10 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ за некоторый промежуток времени равно векторной разности конечного $\vec{p}_f$ и начального $\vec{p}_i$ импульсов:

$\Delta\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$.

Мы будем находить модуль этой векторной разности $|\Delta\vec{p}|$.

за одну четверть периода

За время, равное одной четверти периода ($T/4$), радиус-вектор точки поворачивается на угол $90^\circ$ или $\pi/2$ радиан. Вектор скорости, будучи всегда касательным к траектории, также поворачивается на $90^\circ$. Следовательно, векторы начального импульса $\vec{p}_i$ и конечного импульса $\vec{p}_f$ перпендикулярны друг другу. Их модули равны: $|\vec{p}_i| = |\vec{p}_f| = p = mv$.

Модуль разности двух перпендикулярных векторов можно найти по теореме Пифагора, рассматривая треугольник, образованный векторами $\vec{p}_f$, $-\vec{p}_i$ и $\Delta\vec{p}$:

$|\Delta\vec{p}|^2 = |\vec{p}_f|^2 + |-\vec{p}_i|^2 = p^2 + p^2 = 2p^2$.

Отсюда, модуль изменения импульса:

$|\Delta\vec{p}_{T/4}| = \sqrt{2p^2} = p\sqrt{2} = mv\sqrt{2}$.

Подставим числовые значения:

$|\Delta\vec{p}_{T/4}| = 10 \cdot \sqrt{2} \approx 14,14 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: модуль изменения импульса за одну четверть периода равен $10\sqrt{2} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$, что приблизительно составляет $14,14 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

за половину периода

За половину периода ($T/2$) точка перемещается в диаметрально противоположную точку окружности. Вектор скорости поворачивается на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) и меняет свое направление на противоположное. Таким образом, вектор конечного импульса $\vec{p}_f$ противоположен вектору начального импульса $\vec{p}_i$, то есть $\vec{p}_f = -\vec{p}_i$.

Изменение импульса равно:

$\Delta\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -\vec{p}_i - \vec{p}_i = -2\vec{p}_i$.

Модуль изменения импульса будет равен:

$|\Delta\vec{p}_{T/2}| = |-2\vec{p}_i| = 2|\vec{p}_i| = 2p = 2mv$.

Подставим числовые значения:

$|\Delta\vec{p}_{T/2}| = 2 \cdot 10 = 20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: модуль изменения импульса за половину периода равен $20 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

за период

За время, равное одному полному периоду ($T$), точка совершает полный оборот и возвращается в исходное положение. При этом её вектор скорости (и, следовательно, вектор импульса) также возвращается в исходное состояние, то есть становится равным начальному.

$\vec{p}_f = \vec{p}_i$.

Изменение импульса равно:

$\Delta\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = \vec{p}_i - \vec{p}_i = \vec{0}$.

Модуль изменения импульса равен нулю:

$|\Delta\vec{p}_{T}| = 0$.

Ответ: изменение импульса за период равно $0 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.