Номер 5, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Преобразования фигур

1. Начертите треугольник $ABC$. Постройте образ треугольника $ABC$:

1) при симметрии относительно точки $A$;

2) при симметрии относительно прямой $AB$.

2. Вершинами треугольника $ABC$ являются точки $A$ (3; -5), $B$ (4; 1) и $C$ (7; -8). Выполнили параллельный перенос треугольника $ABC$, при котором образом точки $A$ является точка $B$. Каковы координаты вершин полученного треугольника?

3. Точка $P$ — образ вершины $D$ прямоугольника $ABCD$ при повороте вокруг точки $A$ на угол $90^{\circ}$ против часовой стрелки. Найдите отрезок $PC$, если $AB = 7$ см, $BC = 15$ см.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь трапеции, если $BC : AD = 2 : 5$, а площадь треугольника $BMC$ равна $12$ см$^2$.

5. Из точек $A$ и $C$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $AA_1$ и $CC_1$ на эту прямую. Известно, что $AA_1 = 7$ см, $CC_1 = 1$ см, $A_1C_1 = 6$ см. Какое наименьшее значение может принимать сумма $AX + XC$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

1.

1) Построение образа треугольника $ABC$ при симметрии относительно точки $A$ (центральная симметрия).

Центром симметрии является точка $A$. При центральной симметрии центр переходит сам в себя, поэтому образ точки $A$ — это сама точка $A$. Обозначим новый треугольник $A'B'C'$. Тогда $A' = A$.

Для нахождения образа точки $B$, точки $B'$, нужно провести прямую через точки $B$ и $A$ и отложить на ней от точки $A$ отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$, так, чтобы точка $A$ была серединой отрезка $BB'$.

Аналогично, для нахождения образа точки $C$, точки $C'$, нужно провести прямую через точки $C$ и $A$ и отложить на ней от точки $A$ отрезок $AC'$, равный отрезку $AC$, так, чтобы точка $A$ была серединой отрезка $CC'$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$ (или $AB'C'$).

2) Построение образа треугольника $ABC$ при симметрии относительно прямой $AB$ (осевая симметрия).

Осью симметрии является прямая $AB$. Точки, лежащие на оси симметрии, отображаются сами на себя. Следовательно, образы точек $A$ и $B$ — это сами точки $A$ и $B$. Обозначим новый треугольник $A''B''C''$. Тогда $A'' = A$ и $B'' = B$.

Для нахождения образа точки $C$, точки $C''$, нужно из точки $C$ опустить перпендикуляр на прямую $AB$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Затем на продолжении перпендикуляра $CH$ за точку $H$ откладываем отрезок $HC''$, равный отрезку $CH$. Точка $C''$ и будет образом точки $C$.

Соединив точки $A''$, $B''$ и $C''$, получаем искомый треугольник $A''B''C''$ (или $ABC''$).

2.

Параллельный перенос задается вектором, на который смещается каждая точка фигуры. По условию, образом точки $A(3; –5)$ является точка $B(4; 1)$. Найдем вектор переноса $\vec{v}(a; b)$.

Координаты вектора переноса равны разности координат конца и начала вектора: $a = x_B - x_A = 4 - 3 = 1$ $b = y_B - y_A = 1 - (-5) = 6$ Таким образом, вектор переноса $\vec{v} = (1; 6)$.

Чтобы найти координаты вершин полученного треугольника $A'B'C'$, нужно к координатам вершин исходного треугольника $ABC$ прибавить координаты вектора переноса.

Координаты вершины $A'$: $A'$ является образом точки $A$, то есть $A' = B(4; 1)$. Проверка: $A'(3+1; -5+6) = A'(4; 1)$.

Координаты вершины $B'$: $B'$ является образом точки $B(4; 1)$. $x_{B'} = 4 + 1 = 5$ $y_{B'} = 1 + 6 = 7$ $B'(5; 7)$.

Координаты вершины $C'$: $C'$ является образом точки $C(7; –8)$. $x_{C'} = 7 + 1 = 8$ $y_{C'} = -8 + 6 = -2$ $C'(8; –2)$.

Ответ: Координаты вершин полученного треугольника: $A'(4; 1)$, $B'(5; 7)$, $C'(8; –2)$.

3.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Введем систему координат с началом в точке $A(0; 0)$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, разместим вершину $B$ на оси $Ox$, а вершину $D$ на оси $Oy$.

Координаты вершин будут следующими: $A(0; 0)$ $B(AB; 0) = B(7; 0)$ (так как $AB=7$ см) $D(0; AD) = D(0; 15)$ (так как в прямоугольнике $AD=BC=15$ см) $C(AB; AD) = C(7; 15)$

Точка $P$ — это образ вершины $D$ при повороте вокруг точки $A$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки. Формула поворота точки $(x; y)$ вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки: $(x', y') = (-y, x)$.

Применим эту формулу к точке $D(0; 15)$: $x_P = -y_D = -15$ $y_P = x_D = 0$ Таким образом, координаты точки $P$ равны $(-15; 0)$.

Теперь найдем длину отрезка $PC$, используя формулу расстояния между двумя точками $P(-15; 0)$ и $C(7; 15)$: $PC = \sqrt{(x_C - x_P)^2 + (y_C - y_P)^2}$ $PC = \sqrt{(7 - (-15))^2 + (15 - 0)^2} = \sqrt{(7+15)^2 + 15^2} = \sqrt{22^2 + 15^2}$ $PC = \sqrt{484 + 225} = \sqrt{709}$.

Ответ: $PC = \sqrt{709}$ см.

4.

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMD$. Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle MBC = \angle MAD$ и $\angle MCB = \angle MDA$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $AM$ и $DM$ соответственно. Следовательно, $\triangle BMC \sim \triangle AMD$ (по двум углам).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$.

Тогда отношение площадей: $\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle AMD}} = k^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$.

По условию, площадь треугольника $BMC$ равна 12 см². Подставим это значение в пропорцию: $\frac{12}{S_{\triangle AMD}} = \frac{4}{25}$.

Отсюда найдем площадь треугольника $AMD$: $S_{\triangle AMD} = \frac{12 \cdot 25}{4} = 3 \cdot 25 = 75$ см².

Площадь трапеции $ABCD$ равна разности площадей треугольников $AMD$ и $BMC$: $S_{ABCD} = S_{\triangle AMD} - S_{\triangle BMC} = 75 - 12 = 63$ см².

Ответ: 63 см².

5.

Задача сводится к нахождению наименьшего значения суммы длин отрезков $AX + XC$, где точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $m$, а точка $X$ принадлежит этой прямой. Это классическая задача на применение осевой симметрии.

Чтобы найти наименьшее значение суммы $AX + XC$, отразим одну из точек, например $C$, симметрично относительно прямой $m$. Обозначим образ точки $C$ как $C'$.

По свойству осевой симметрии, для любой точки $X$ на прямой $m$ длина отрезка $XC$ равна длине отрезка $XC'$. Таким образом, сумма $AX + XC$ равна сумме $AX + XC'$.

Сумма $AX + XC'$ будет наименьшей, когда точки $A$, $X$ и $C'$ лежат на одной прямой. Минимальное значение этой суммы равно длине отрезка $AC'$.

Найдем длину отрезка $AC'$. Для этого построим прямоугольный треугольник. Проведем через точку $C'$ прямую, параллельную $m$. Из точки $A$ опустим на нее перпендикуляр $AH$. Получим прямоугольный треугольник $AC'H$.

Катет $AH$ равен расстоянию по горизонтали между точками $A$ и $C'$, что равно длине отрезка $A_1C_1$. $AH = A_1C_1 = 6$ см.

Катет $C'H$ равен сумме расстояний от точек $A$ и $C$ до прямой $m$ (так как $C'$ находится по другую сторону от прямой, на том же расстоянии, что и $C$). $C'H = AA_1 + CC_1 = 7 + 1 = 8$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $AC'H$: $AC'^2 = AH^2 + C'H^2$ $AC'^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $AC' = \sqrt{100} = 10$ см.

Следовательно, наименьшее значение суммы $AX + XC$ равно 10 см.

Ответ: 10 см.