Номер 4, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Даны точки A(–2; 3), B(1; –1) и C(2; 4).

1) координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$

Координаты вектора, заданного двумя точками $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Для вектора $\vec{AB}$ начальная точка A(–2; 3), конечная точка B(1; –1):

$\vec{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$.

Для вектора $\vec{CA}$ начальная точка C(2; 4), конечная точка A(–2; 3):

$\vec{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$.

Ответ: $\vec{AB} = (3; -4)$, $\vec{CA} = (-4; -1)$.

2) модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$

Модуль (длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Модуль вектора $\vec{AB}(3; -4)$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Модуль вектора $\vec{CA}(-4; -1)$:

$|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

Ответ: $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{CA}| = \sqrt{17}$.

3) координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$

Чтобы найти координаты вектора $\vec{MN}$, выполним операции с векторами $\vec{AB}(3; -4)$ и $\vec{CA}(-4; -1)$:

$3\vec{AB} = 3 \cdot (3; -4) = (9; -12)$.

$2\vec{CA} = 2 \cdot (-4; -1) = (-8; -2)$.

$\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA} = (9; -12) - (-8; -2) = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (17; 10)$.

Ответ: $\vec{MN} = (17; -10)$.

4) скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$.

Ответ: $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -8$.

5) косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Используем ранее найденные значения:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$.

Ответ: $-\frac{8}{5\sqrt{17}}$.

2. При каком значении $k$ векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$:

1) коллинеарны

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ условие коллинеарности: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

$\frac{2}{-3} = \frac{6}{k}$

$2k = 6 \cdot (-3)$

$2k = -18$

$k = -9$

Ответ: $k = -9$.

2) перпендикулярны

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ условие перпендикулярности: $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.

$2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0$

$-6 + 6k = 0$

$6k = 6$

$k = 1$

Ответ: $k = 1$.

3. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и E так, что AF : FB = 1 : 4, BE : EC = 1 : 3. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{EF}$ по правилу многоугольника: $\vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AF}$.

1. Найдем вектор $\vec{AF}$. Точка F делит сторону AB в отношении $AF:FB = 1:4$, значит, вся сторона AB состоит из $1+4=5$ частей. $\vec{AF}$ составляет $\frac{1}{5}$ от вектора $\vec{AB}$.

$\vec{AF} = \frac{1}{5}\vec{AB} = \frac{1}{5}\vec{a}$.

2. Найдем вектор $\vec{EA}$. Сначала выразим вектор $\vec{AE}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$.

Точка E делит сторону BC в отношении $BE:EC = 1:3$, значит, вся сторона BC состоит из $1+3=4$ частей. Вектор $\vec{BE}$ составляет $\frac{1}{4}$ от вектора $\vec{BC}$. В параллелограмме $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

$\vec{BE} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{b}$.

Тогда $\vec{AE} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$.

Вектор $\vec{EA}$ противоположен вектору $\vec{AE}$, поэтому $\vec{EA} = -\vec{AE} = -(\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}) = -\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

3. Сложим векторы $\vec{EA}$ и $\vec{AF}$:

$\vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AF} = (-\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}) + \frac{1}{5}\vec{a} = (-\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{a}) - \frac{1}{4}\vec{b} = -\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

4. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$ и $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Из условий задачи: $\vec{m} \perp \vec{n} \Rightarrow \vec{m} \cdot \vec{n} = 0$. Также $|\vec{m}|^2 = 1^2 = 1$ и $|\vec{n}|^2 = 1^2 = 1$.

1. Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{n} + 2\vec{m}) \cdot (3\vec{n} - \vec{m}) = 3(\vec{n} \cdot \vec{n}) - (\vec{n} \cdot \vec{m}) + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{m})$

$= 3|\vec{n}|^2 - \vec{m} \cdot \vec{n} + 6\vec{m} \cdot \vec{n} - 2|\vec{m}|^2 = 3|\vec{n}|^2 + 5(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 2|\vec{m}|^2$

$= 3(1)^2 + 5(0) - 2(1)^2 = 3 - 2 = 1$.

2. Найдем модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (\vec{n} + 2\vec{m}) \cdot (\vec{n} + 2\vec{m}) = |\vec{n}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{m}|^2 = 1^2 + 4(0) + 4(1)^2 = 1 + 4 = 5$.

$|\vec{a}| = \sqrt{5}$.

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (3\vec{n} - \vec{m}) \cdot (3\vec{n} - \vec{m}) = 9|\vec{n}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{m}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + 1^2 = 9 + 1 = 10$.

$|\vec{b}| = \sqrt{10}$.

3. Вычислим косинус угла:

$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

5. Точка K принадлежит стороне BC треугольника ABC. Найдите отрезок AK, если AB = 3 см, AC = 9 см, $\angle BAC = 120^\circ$, CK : KB = 2 : 1.

Для решения задачи используем векторы. Обозначим $\vec{AB} = \vec{u}$ и $\vec{AC} = \vec{v}$.

По условию: $|\vec{u}| = AB = 3$, $|\vec{v}| = AC = 9$, угол между $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $120^\circ$.

Точка K делит отрезок BC в отношении $CK:KB = 2:1$. По формуле деления отрезка в заданном отношении для векторов:

$\vec{AK} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 2 \cdot \vec{AB}}{1 + 2} = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{v} + \frac{2}{3}\vec{u}$.

Длина отрезка AK равна модулю вектора $\vec{AK}$. Найдем квадрат модуля:

$|\vec{AK}|^2 = \vec{AK} \cdot \vec{AK} = (\frac{2}{3}\vec{u} + \frac{1}{3}\vec{v}) \cdot (\frac{2}{3}\vec{u} + \frac{1}{3}\vec{v})$

$= \frac{4}{9}(\vec{u} \cdot \vec{u}) + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \frac{1}{9}(\vec{v} \cdot \vec{v})$

$= \frac{4}{9}|\vec{u}|^2 + \frac{4}{9}(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \frac{1}{9}|\vec{v}|^2$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(120^\circ) = 3 \cdot 9 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{27}{2}$.

Подставим все значения в формулу для $|\vec{AK}|^2$:

$|\vec{AK}|^2 = \frac{4}{9}(3^2) + \frac{4}{9}(-\frac{27}{2}) + \frac{1}{9}(9^2) = \frac{4}{9} \cdot 9 - \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 2} + \frac{1}{9} \cdot 81 = 4 - \frac{2 \cdot 3}{1} + 9 = 4 - 6 + 9 = 7$.

Следовательно, длина отрезка AK равна $\sqrt{7}$.

Ответ: $AK = \sqrt{7}$ см.