Номер 6, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Начальные сведения по стереометрии

1. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, ребро которого равно 2 см (рис. 17). Найдите площадь боковой поверхности призмы $ABC A_1 B_1 C_1$.

2. Вычислите объём конуса, высота которого равна 6 см, а радиус основания — 4 см.

3. Чему равен объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а боковое ребро равно 6 см?

4. Радиус одного шара равен 2 см, а другого — 4 см. Найдите отношение объёмов данных шаров.

5. Найдите площадь поверхности пирамиды $SABC$, если $SA = SB = SC = a$, $\angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = 90^\circ$.

Рис. 17

1.

Призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой треугольной призмой. Площадь её боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$.

Высота призмы $h$ равна ребру куба: $h = AA_1 = 2$ см.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$, так как грань $ABCD$ - квадрат. Катеты $AB$ и $BC$ равны ребру куба, то есть $AB = BC = 2$ см.

Найдем гипотенузу $AC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Периметр основания $P_{осн}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{осн} = AB + BC + AC = 2 + 2 + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 + 2\sqrt{2}) \cdot 2 = 8 + 4\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $8 + 4\sqrt{2}$ см$^2$.

2.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$,

где $r$ - радиус основания, а $h$ - высота конуса.

По условию, высота $h = 6$ см, а радиус основания $r = 4$ см. Подставим эти значения в формулу:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 6 = 16\pi \cdot \frac{6}{3} = 16\pi \cdot 2 = 32\pi$ см$^3$.

Ответ: $32\pi$ см$^3$.

3.

Объём прямой призмы $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота призмы, которая равна длине бокового ребра.

Основанием является прямоугольный треугольник с катетами $a = 3$ см и $b = 4$ см. Его площадь равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

Высота призмы равна её боковому ребру, то есть $h = 6$ см.

Вычислим объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 6 \cdot 6 = 36$ см$^3$.

Ответ: $36$ см$^3$.

4.

Объём шара $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$,

где $r$ - радиус шара.

Пусть $r_1 = 2$ см и $r_2 = 4$ см - радиусы двух шаров, а $V_1$ и $V_2$ - их объёмы соответственно.

Найдём отношение их объёмов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = (\frac{r_1}{r_2})^3$.

Подставим значения радиусов:

$\frac{V_1}{V_2} = (\frac{2}{4})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Таким образом, отношение объёмов шаров равно $1:8$.

Ответ: $1:8$.

5.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади её основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Боковая поверхность состоит из трёх треугольников: $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$. По условию, $SA = SB = SC = a$ и углы при вершине $S$ прямые ($\angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = 90^\circ$). Это означает, что все три боковые грани - это равные между собой прямоугольные равнобедренные треугольники с катетами, равными $a$.

Площадь одной такой грани, например $\triangle SAB$, равна:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Так как все три боковые грани равны, площадь всей боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SAB} = 3 \cdot \frac{1}{2}a^2 = \frac{3}{2}a^2$.

Основанием пирамиды является треугольник $\triangle ABC$. Его стороны являются гипотенузами боковых граней. По теореме Пифагора для $\triangle SAB$:

$AB = \sqrt{SA^2 + SB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Аналогично, $AC = a\sqrt{2}$ и $BC = a\sqrt{2}$. Таким образом, основание $\triangle ABC$ является равносторонним треугольником со стороной $s = a\sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдём полную площадь поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \frac{3}{2}a^2 + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}$.