Номер 1, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1

Контрольная работа № 1

Решение треугольников

1. Два угла треугольника равны $30^\circ$ и $135^\circ$, а сторона, противолежащая меньшему из них, равна 4 см. Найдите сторону треугольника, противолежащую большему из данных углов.

2. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см.

3. Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними составляет $120^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

5. Стороны треугольника равны 7 см, 11 см и 12 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его большей стороне.

6. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 120^\circ$, $M$ — точка пересечения биссектрис. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AMB$.

1. Пусть в треугольнике даны углы $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 135^\circ$. Сторона, противолежащая меньшему углу ($\alpha = 30^\circ$), равна $a = 4$ см. Нам нужно найти сторону $b$, противолежащую большему углу ($\beta = 135^\circ$).
Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
Подставим известные значения:
$\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 135^\circ}$
Мы знаем значения синусов: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем эти значения в уравнение:
$\frac{4}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{2}/2}$
$8 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$
Выразим $b$:
$b = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Сумма двух известных углов равна $30^\circ + 135^\circ = 165^\circ$, что меньше $180^\circ$, так что такой треугольник существует.
Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

2. Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) со сторонами $a = 4$ см, $b = 5$ см и $c = 7$ см, нужно сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон.
Наибольшая сторона $c = 7$ см.
Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 7^2 = 49$.
Вычислим сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.
Сравним полученные значения:
$49 > 41$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.
Согласно следствию из теоремы косинусов, если квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, противолежащий большей стороне, является тупым. Следовательно, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

3. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.
По условию, одна сторона на 2 см больше другой. Пусть $a = x$ см, тогда $b = x + 2$ см.
Угол между этими сторонами $\gamma = 120^\circ$.
Третья сторона $c = 7$ см.
Применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.
Подставим известные значения:
$7^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2x(x+2)\cos 120^\circ$
Значение косинуса: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
$49 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) - 2x(x+2)(-\frac{1}{2})$
$49 = 2x^2 + 4x + 4 + x(x+2)$
$49 = 2x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x$
$49 = 3x^2 + 6x + 4$
$3x^2 + 6x - 45 = 0$
Разделим уравнение на 3:
$x^2 + 2x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.
Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем $x = 3$.
Тогда стороны треугольника равны:
$a = 3$ см
$b = 3 + 2 = 5$ см
$c = 7$ см
Периметр треугольника $P = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15$ см.
Ответ: 15 см.

4. Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ в треугольник со сторонами $a = 7$ см, $b = 15$ см и $c = 20$ см, воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.
1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)}$
$S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$
$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ см$^2$.
3. Найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{42}{21} = 2$ см.
Ответ: 2 см.

5. Даны стороны треугольника $a = 7$ см, $b = 11$ см и $c = 12$ см. Необходимо найти медиану, проведенную к его большей стороне.
Большая сторона — $c = 12$ см. Обозначим медиану, проведенную к этой стороне, как $m_c$.
Формула для длины медианы, проведенной к стороне $c$:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$
Подставим значения сторон:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 121 - 144}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 242 - 144}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{340 - 144}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{196}$
$m_c = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.
Ответ: 7 см.

6. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 120^\circ$. Точка $M$ — точка пересечения биссектрис, то есть центр вписанной окружности (инцентр). $AM$ и $BM$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно.
Пусть $\angle A = 2\alpha$ и $\angle B = 2\beta$. Тогда $\angle MAB = \alpha$ и $\angle MBA = \beta$.
Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
$2\alpha + 2\beta + 120^\circ = 180^\circ$
$2(\alpha + \beta) = 60^\circ \implies \alpha + \beta = 30^\circ$.
Рассмотрим треугольник $AMB$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:
$\angle AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Теперь найдем радиус $R_{AMB}$ окружности, описанной около треугольника $AMB$. По теореме синусов для $\triangle AMB$:
$2R_{AMB} = \frac{AB}{\sin(\angle AMB)}$
$R_{AMB} = \frac{AB}{2 \sin 150^\circ}$
Поскольку $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ-30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то:
$R_{AMB} = \frac{AB}{2 \cdot (1/2)} = AB$.
Таким образом, радиус описанной около $\triangle AMB$ окружности равен длине стороны $AB$.
Найдем сторону $AB$ из треугольника $ABC$, используя теорему синусов и радиус описанной около него окружности $R_{ABC} = 12$ см.
$2R_{ABC} = \frac{AB}{\sin C}$
$AB = 2R_{ABC} \sin C = 2 \cdot 12 \cdot \sin 120^\circ$.
Поскольку $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ-60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$AB = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.
Следовательно, $R_{AMB} = AB = 12\sqrt{3}$ см.
Ответ: $12\sqrt{3}$ см.