Номер 20, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии правильного шестиугольника $ABCDEF$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(3; 7)$.

3. Даны точки $K (3; -2)$ и $P (1; -3)$. Точка $X$ принадлежит оси абсцисс. Найдите наименьшее значение выражения $KX + PX$.

1.

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ имеет 6 осей симметрии. Прямая $m$ является осью симметрии в одном из двух случаев:

1) Прямая $m$ проходит через две противолежащие вершины шестиугольника. В шестиугольнике $ABCDEF$ это прямые, проходящие через пары вершин $(A, D)$, $(B, E)$ и $(C, F)$. Всего таких осей три.

2) Прямая $m$ проходит через середины двух противолежащих сторон шестиугольника. В шестиугольнике $ABCDEF$ это прямые, проходящие через середины пар сторон $(AB, DE)$, $(BC, EF)$ и $(CD, FA)$. Таких осей тоже три.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии правильного шестиугольника, если она проходит через две его противолежащие вершины или через середины двух его противолежащих сторон.

2.

Пусть вершины ромба — A, B, C, D. По условию, диагонали ромба лежат на координатных осях. Это означает, что центр ромба (точка пересечения диагоналей) находится в начале координат O(0; 0), а вершины лежат на осях Ox и Oy. Обозначим полудиагонали как $a$ и $b$. Тогда координаты вершин можно записать как $A(a, 0)$, $C(-a, 0)$, $B(0, b)$ и $D(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Рассмотрим сторону ромба, соединяющую вершины на положительных полуосях, — сторону AB. Координаты ее концов: $A(a, 0)$ и $B(0, b)$. Найдем координаты середины M этой стороны, используя формулу середины отрезка: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{a + 0}{2} = \frac{a}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2}$.

Таким образом, середина стороны AB имеет координаты $M(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$.

По условию, середина одной из сторон имеет координаты (3; 7). Так как обе координаты положительны, эта точка находится в первом координатном квадранте, а значит, это и есть середина стороны AB.

Приравняем соответствующие координаты:

$\frac{a}{2} = 3 \Rightarrow a = 6$

$\frac{b}{2} = 7 \Rightarrow b = 14$

Зная значения $a$ и $b$, мы можем определить координаты всех вершин ромба:

• $A(a, 0) \rightarrow A(6, 0)$
• $C(-a, 0) \rightarrow C(-6, 0)$
• $B(0, b) \rightarrow B(0, 14)$
• $D(0, -b) \rightarrow D(0, -14)$

Ответ: Координаты вершин ромба: (6; 0), (-6; 0), (0; 14), (0; -14).

3.

Требуется найти наименьшее значение суммы длин отрезков $KX + PX$, где точки $K$ и $P$ имеют координаты $K(3; -2)$ и $P(1; -3)$, а точка $X$ принадлежит оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что ордината точки $X$ равна нулю, то есть $X(x; 0)$.

Обратим внимание, что точки K и P лежат по одну сторону от оси абсцисс, так как их ординаты (-2 и -3) одного знака. Для решения этой задачи применяется метод симметрии.

Отразим одну из точек, например K, симметрично относительно оси абсцисс. Обозначим полученную точку как K'. При симметрии относительно оси Ox абсцисса точки сохраняется, а ордината меняет знак. Таким образом, координаты точки K' будут $(3; 2)$.

Для любой точки X на оси Ox, расстояние $KX$ равно расстоянию $K'X$ ($KX = K'X$), поскольку ось Ox является серединным перпендикуляром к отрезку KK'.

Следовательно, сумму $KX + PX$ можно заменить на эквивалентную ей сумму $K'X + PX$.

Сумма длин $K'X + PX$ будет наименьшей, когда точки K', X и P лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника). В этом случае наименьшее значение суммы будет равно длине отрезка, соединяющего точки K' и P.

Найдем расстояние между точками $K'(3; 2)$ и $P(1; -3)$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$K'P = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Таким образом, наименьшее значение выражения $KX + PX$ равно $\sqrt{29}$.

Ответ: $\sqrt{29}$.