Номер 15, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Найдите:

1) $ \vec{AC} - \vec{DB} + \vec{CB} $;

2) $ \vec{AD} - \vec{BD} + \vec{BA} $;

3) $ \vec{AD} - \vec{BD} - \vec{CB} + \vec{CA} $.

2. Даны точки $F (-4; 1)$ и $K (5; -6)$. Найдите координаты точки $M$ такой, что $ \vec{FM} - \vec{MK} = \vec{0} $.

3. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $ |\vec{AX} + \vec{BX}| = 6 $, если $ |\vec{AB}| = 8 $.

1) $\vec{AC} - \vec{DB} + \vec{CB}$

Для решения воспользуемся правилами действий с векторами. Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами. В частности, $-\vec{DB} = \vec{BD}$.

Тогда исходное выражение принимает вид:

$\vec{AC} + \vec{BD} + \vec{CB}$

Используя переместительное свойство сложения векторов, сгруппируем слагаемые:

$(\vec{AC} + \vec{CB}) + \vec{BD}$

По правилу треугольника (правилу Шаля) для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{AB}$:

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$\vec{AB} + \vec{BD}$

Снова применяя правило треугольника, получаем:

$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AD}$

2) $\vec{AD} - \vec{BD} + \vec{BA}$

Заменим вычитание вектора $\vec{BD}$ на сложение с противоположным ему вектором $\vec{DB}$:

$\vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BA}$

Применим правило треугольника для первых двух векторов:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$

Теперь выражение выглядит так:

$\vec{AB} + \vec{BA}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{AD} - \vec{BD} - \vec{CB} + \vec{CA}$

Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами: $-\vec{BD} = \vec{DB}$ и $-\vec{CB} = \vec{BC}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BC} + \vec{CA}$

Это сумма векторов, образующих замкнутый путь (A → D → B → C → A). Сумма таких векторов всегда равна нулевому вектору. Проверим это, последовательно применяя правило треугольника:

Сгруппируем слагаемые:

$(\vec{AD} + \vec{DB}) + (\vec{BC} + \vec{CA})$

Вычислим сумму в каждой скобке:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$

$\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$

Тогда итоговое выражение становится равным сумме двух противоположных векторов:

$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$

2. Даны точки F (−4; 1) и K (5; −6). Найдите координаты точки М такой, что $\vec{FM} - \vec{MK} = \vec{0}$.

Из данного векторного уравнения $\vec{FM} - \vec{MK} = \vec{0}$ следует, что $\vec{FM} = \vec{MK}$.

Равенство векторов $\vec{FM}$ и $\vec{MK}$ означает, что они сонаправлены и их длины равны. Поскольку у них есть общая точка M (конец первого вектора и начало второго), это означает, что точка M является серединой отрезка FK.

Координаты середины отрезка $M(x_M; y_M)$ с концами в точках $F(x_F; y_F)$ и $K(x_K; y_K)$ находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_F + x_K}{2}$

$y_M = \frac{y_F + y_K}{2}$

Подставим известные координаты точек F(−4; 1) и K(5; −6):

$x_M = \frac{-4 + 5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_M = \frac{1 + (-6)}{2} = \frac{1 - 6}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Таким образом, координаты точки M равны (0.5; -2.5).

Ответ: M(0.5; -2.5)

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $|\vec{AX} + \vec{BX}| = 6$, если $|\vec{AB}| = 8$.

Для упрощения векторной суммы $\vec{AX} + \vec{BX}$ введем точку O — середину отрезка AB. По правилу треугольника для векторов можно выразить векторы $\vec{AX}$ и $\vec{BX}$ через точку O:

$\vec{AX} = \vec{AO} + \vec{OX}$

$\vec{BX} = \vec{BO} + \vec{OX}$

Сложим эти два равенства:

$\vec{AX} + \vec{BX} = (\vec{AO} + \vec{OX}) + (\vec{BO} + \vec{OX}) = (\vec{AO} + \vec{BO}) + 2\vec{OX}$

Так как O — середина отрезка AB, то векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равны по длине ($|\vec{AO}| = |\vec{BO}| = \frac{1}{2}|\vec{AB}| = 4$) и противоположны по направлению. Это означает, что их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{0}$

Следовательно, выражение для суммы векторов упрощается:

$\vec{AX} + \vec{BX} = 2\vec{OX}$

Теперь подставим этот результат в исходное уравнение:

$|2\vec{OX}| = 6$

Используя свойство длины (модуля) вектора $|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$, получаем:

$2|\vec{OX}| = 6$

$|\vec{OX}| = 3$

Это равенство означает, что расстояние от точки X до фиксированной точки O (середины отрезка AB) постоянно и равно 3. Геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, является окружностью (в двумерном пространстве) или сферой (в трехмерном).

Поскольку задача рассматривается в контексте планиметрии, искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке O (середине отрезка AB) и радиусом R = 3.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом 3.