Номер 8, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $A(-3; 1)$ и $B(-5; -3)$.

2. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $B(-2; 7)$, $C(3; -2)$, $D(4; 3)$. Найдите длину диагонали $AC$.

3. Точки $A(-3; -5)$, $B(1; -8)$ и $C(6; 7)$ — вершины треугольника $ABC$. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла $BAC$ со стороной $BC$.

1.

Пусть искомая точка $M$ лежит на оси ординат. Координаты такой точки имеют вид $M(0; y)$.

Расстояние между двумя точками $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

По условию точка $M$ равноудалена от точек $A(-3; 1)$ и $B(-5; -3)$, следовательно, расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$. Удобнее работать с квадратами расстояний, чтобы избежать корней: $MA^2 = MB^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$:

$MA^2 = (0 - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 3^2 + (y - 1)^2 = 9 + y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2y + 10$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$:

$MB^2 = (0 - (-5))^2 + (y - (-3))^2 = 5^2 + (y + 3)^2 = 25 + y^2 + 6y + 9 = y^2 + 6y + 34$.

Приравняем квадраты расстояний и решим уравнение относительно $y$:

$y^2 - 2y + 10 = y^2 + 6y + 34$

$-2y - 6y = 34 - 10$

$-8y = 24$

$y = -3$

Таким образом, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -3)$.

Ответ: $(0; -3)$.

2.

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть координаты точки $A$ равны $(x_A; y_A)$. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.

Найдем координаты середины диагонали $BD$, используя координаты точек $B(-2; 7)$ и $D(4; 3)$. Пусть это будет точка $O(x_O; y_O)$:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(1; 5)$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $AC$. Используя координаты точки $C(3; -2)$, найдем координаты точки $A(x_A; y_A)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 1 = \frac{x_A + 3}{2} \implies 2 = x_A + 3 \implies x_A = -1$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies 5 = \frac{y_A + (-2)}{2} \implies 10 = y_A - 2 \implies y_A = 12$

Итак, координаты вершины $A$ равны $(-1; 12)$.

Теперь найдем длину диагонали $AC$, используя координаты точек $A(-1; 12)$ и $C(3; -2)$:

$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 12)^2} = \sqrt{4^2 + (-14)^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212}$.

Упростим корень: $212 = 4 \cdot 53$.

$AC = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$.

Ответ: $2\sqrt{53}$.

3.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $BAC$, где точка $L$ лежит на стороне $BC$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$

Найдем длины сторон $AB$ и $AC$, используя координаты вершин $A(-3; -5)$, $B(1; -8)$ и $C(6; 7)$.

Длина стороны $AB$:

$AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-8 - (-5))^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Длина стороны $AC$:

$AC = \sqrt{(6 - (-3))^2 + (7 - (-5))^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Теперь найдем отношение, в котором точка $L$ делит отрезок $BC$:

$\frac{BL}{LC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Координаты точки $L(x_L; y_L)$, делящей отрезок $BC$ в отношении $\lambda = \frac{1}{3}$, можно найти по формулам:

$x_L = \frac{x_B + \lambda x_C}{1 + \lambda}$

$y_L = \frac{y_B + \lambda y_C}{1 + \lambda}$

Подставим координаты точек $B(1; -8)$, $C(6; 7)$ и значение $\lambda = 1/3$:

$x_L = \frac{1 + \frac{1}{3} \cdot 6}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1 + 2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$y_L = \frac{-8 + \frac{1}{3} \cdot 7}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-8 + \frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{-24+7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{-\frac{17}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{17}{4}$

Таким образом, координаты точки пересечения биссектрисы со стороной $BC$ равны $(\frac{9}{4}; -\frac{17}{4})$.

Ответ: $(\frac{9}{4}; -\frac{17}{4})$.